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加强数形结合提高学生解题能力

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  一、 绪论

  恩格斯说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数学中的两大研究对象“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素.数形结合是贯穿于数学发展的一条主线,使数学在实践中的应用更加广泛和深远.一方面,借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直观感;另一方面,将图形问题转化为代数问题,可以获得准确的结论.“数”和“形”的信息转换、相互渗透,不仅使解题简洁明快,还开拓解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.数形结合是连接“数”和“形”的“桥”,它不仅是一种重要的解题方法,更是一种重要的数学思想.高中数学学习中,数形结合的思想更是贯穿始终.

  二、研究的目的和意义

学习啦在线学习网   数是形的抽象概括,形是数的直观表现.华罗庚教授说:“数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.

学习啦在线学习网   数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一,是把许多知识转化为能力的“桥”.在高中数学教学中,许多抽象问题学生往往觉得难以理解,如果教师能灵活地引导学生进行数形结合,转化为直观、易感知的问题,学生就易理解,就能把问题解决,从而获得成功的体验,增强学生学习数学的信心.尤其是对于较难问题,学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决,心情更是愉悦,这样,就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性.同时,学生一旦掌握了数形结合法,并不断进行尝试、运用,许多问题就能迎刃而解.

  三、数形结合在提高学生解题能力中的作用

学习啦在线学习网   作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”. 其中数形结合的重点是研究“以形助数”.

  根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种数形结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到顺利解决.

  (一)“以形助数”

  点评:运用数形结思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,以开拓自己的

  思维视野.


  点评:数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,简化计算.

  点评:许多函数的最值问题,存在着几何背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法,通过图形给问题以几何直观描述,从数形结合中找出问题的逻辑关系,启发思维,难题巧解.

学习啦在线学习网   点评:向量具有一套良好的运算性质,通过建立直角坐标系可以把几何图形的性质转化为向量运算,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,借助数的精确与规范严密性阐明了立体几何的属性,既简化了空间想象能力难的问题,又显得特别简洁.

  在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.

  四、数学教学中渗透数形结合思想

  数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一.新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想.教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用,可对问题进行正确的分析、比较、合理联想,逐步形成正确的解题观,还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆,提高数学认知能力,并提升对现实世界的认识能力,从而提高数学素养,不断完善自己.

  新课标的教学内容早已全面实施,按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看,数形结合法教学主要经历三个阶段:

学习啦在线学习网   第一阶段是数形对应,它是数形结合基础,主要是通过平时概念的教学逐步渗透,让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和掌握.一方面,实数与数轴上的点的对应,平面上点与有序实数对间的对应,函数与图象的对应,曲线与方程的对应等,以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件,提供了理论支撑.另一方面,高中数学概念具有较强的抽象性、概括性,学生在理解时有较大的难度.可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的.例如,将函数与图象结合起来,用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象.

  第二阶段是数形转化,它体现了数与形关系在解决问题过程中,如何作为一种方法而得到运用.数学问题是开展数学思维的前提,解决问题的过程,本质上就是一个思维训练的过程.我们可以将数形结合渗透在问题的解决过程中,主要体现在以下三个方面:

学习啦在线学习网   (1)以形助数体会形在问题解决中的直观性 ;

  (2)以数助形体会数的论证在问题解决中的简洁性;

学习啦在线学习网   (3)数形结合体会两者的统一性 .

学习啦在线学习网   第三阶段是数形分工,这是把应用数形结合思想作为解决问题中的一种策略.例如,高三复习中重点开设数形结合思想方法专题,以达到系统巩固的目的.

  纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,往往事半功倍.因此,高中数学教学中必须加强数形结合,提高学生数学素质与解题能力.

加强数形结合提高学生解题能力

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