数学论文怎么写

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　　数学论文怎么写篇一

　　论数学

　　讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。对人类智能的性质作一般的讨论，从本质上来说是困难的，它在任何情况下总比只涉及那些特殊范围的智能的讨论要更为困难。理解飞机的结构和升力、推力的力学原理，比乘坐飞机、以至驾驶它要更为困难。在没有以直观的和 经验的方式获得某些知识之前，在没有预先了解、熟悉以及驾驶过飞机之前，人们就能理解原理及其过程，这是罕见的。

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　　因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。

　　第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出Euclid的程序。我们 时代 的经典理论物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的实质部分都是很像Euclid的。当然在所有这些例子中，提到的公设都是以支持这些定理的物理考察、实验论证作为后盾的。但是人们可以论证：在几何学获得两干多年的稳定和权威之前(这种权威是理论物理的现代结构所缺乏的)，特别从古代的观点来看，提出一种类似于Euclid的解释是可能的.

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　　微积分的起源显然是 经验的，Kepler尝试着做的最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是Euclid以后的那种几何学，Kepler是完全知道这些的。Newton和L Eibniz的那些主要成果和主要发现确实起源于物 理学 。Newton发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到 发展 的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是Newton以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述!这一时期数学 分析 取得了某些最重要的进步,而这种不精确性不能适应于基础!这时期的某些主导的数学精神显然是不严格的，如Euler;但是另外一些数学家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。这种发展极为含混和模糊，它和经验的关系，确实不是按照我们(或Euclid)提出的抽象的和严格的想法那样。但是并没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由Cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理 方法 在Riemann那里仍然得到了复萌。Riemann的 科学 的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样，这些可以在Riemann和W EIerstrass的争论中见到，如果我详细地列出这些，恐怕会使技术细节叙述得过分多了。自Weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不是绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。

　　这为我带来了第三个例子，它和上述争论的判断是有关的，但是这个例子更多地是论述数学与 哲学 或认识的关系，而不是数学与 自然 科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时，我一直不能使自己确信：这种说法一定有利于外部成分的经验性质，尽管在讨论的某些言词上，对这样一种说明的支持是十分强有力的，但是我并没有把它看作是绝对地不可争议的。然而有两件事是清楚的。第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者与两者如何 联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学(更为专门的认识论)能够独立于经验而存在时才能使人注意(这个假设仅是必要的而不是充分的)。第二，不顾关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到如我们较早提到的例子(几何学和微积分)的强有力地支持的。在分析数学严格性概念的可变性时，我希望主要强调的是上面已谈及的“基础”的论争。但是，我喜欢首先简要地考察 问题 的第二方面。尽管这方面也能加强我的论证，但是我把它看作第二位的，因为它的结论的终极性比“基础”论证的分析要少，我正在把这个归诸于数学“风格”的改变。大家知道，写出的数学证明的风格已经经历了相当大的起落，说起落比趋向要好一点，因为在某些方面，当代作者和18世纪或19世纪的某些作者之间的差别比当代的作者和Euclid之间的差别要更为大一些。此外，另一方面，它们有着值得注意的经久不变的东西。在有些呈现了某些差别的领域，无需引进任何新的思想，它们的主要差别，就可能消除。但是在许多场合，这些差别是如此的广泛，以致使人开始怀疑：在这种分歧的道路上，差别是否能仅仅由作者的风格、试验和 教育 上的差别来说明呢?他们实际上在构成数学的严谨性方面是否具有同样的思想呢?最后，在极端的情况下(例如：上面所说的18世纪后期分析方面的许多 工作)，差别既是本质的，如果完全只是为了有助于新的和意义深远的已经发展了一百多年的 理论 的话，它又是可以补救的，有些按此种不严格方式工作着的数学家(或者他们的某些对此持批评态度的同辈人)是意识到它们缺乏严格性的。或者更为客观地说：他们关于什么是数学程序的想法是愿意遵循我们提出的观点的，但他们的行动却并非如此。但是另一些人，例如：这时期的最伟大的学者Euler似乎坚定地持有自己的标准，并且一直在按他自己标准行事。

学习啦在线学习网 　　但是我不想进一步强调这件事。我将回到刚才停下的关于“数学基础"的论争方面去。在19世纪末和20世纪初，抽象数学的一个新分支，G.Cantor的集合论，引出了困难。即某些推理引向了矛盾;当这些推理并不处于集合论的中心的和“普适”的地位时，总比较容易根据某些形式的标准消除它，但是为什么集合论的后继部分比集合论自身更可信这是不清楚的。除了事后看到它们事实上引向灾难之外，对什么是先验的动因，什么是与之一致的 哲学 特征，人们如何从想要解决的集合论中去分离出它们也是不清楚的。紧接着对这种情况进行 研究 的主要是Russell和Weyl，后来由Brouwer作出结论，这些研究表明：不仅集合论，而且大部分 现代 数学所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲学上是要引起异议的。一个较少地具有这种不可预料的特点的“数学系统”是“直觉主义”，它是由Brouwer 发展 的。但是按这种方式，现代数学中，特别是在 分析 数学中，百分之五十以上的最有生机的部分或者要被“清除”掉，或者将变得无效了，或者必须补加某些更为复杂的考察来进行论证。后一过程，常常使有效性的一般性和推导的漂亮方面会有所减色。但是Brouwer和Weyl认为：根据这些思想去修正数学严格性的概念是必要的。

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　　1.仅有很少的数学家，在他们自己日常 工作中，愿意接受新的，苛刻的标准。尽管很多数学家称颂Weyl和Brouwer的基本想法是正确的，但是他们自身继续不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他们自己的数学。

　　2.Hilbert追随着下面这个天才的思想去论证“经典”的(即直觉主义以前的)数学：即使在直觉主义系统中，也可以对经典数学是如何运算的给出严格的说明。也就是说人们可以描述经典系统是如何工作的，尽管人们不能论证这种工作。因此有可能直觉主义地证明：经典的程序决不可能引向矛盾。显然这样的证明是很困难的，但是对于怎样才能达到它，有着某些启示。按这个方案进行工作，有可能提供一个在与直觉主义系统相反的基础下证明经典数学的最为值得重视的证明。至少，这个解释在大多数数学家愿意接受的数学哲学系统中将是合法的!

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　　4.在Hilbert或Brouwer意义之下论证经典数学的主要想法已经过去了。大部分数学家决定使用任意的系统。总之经典数学过去曾产生的结果既是雅致的又是有用的。即使人们不能绝对地确定它的现实性，但是把它作为基础还是稳妥的，如像 电子 的存在那样。因此，如果人们愿意接受 科学 ，人们就同样能接受经典的数学系统，甚至对直觉主义的某些最初的拥护者来说，这样的观点也成为可接受了。当前关于“基础”的论争，确实不太紧凑了，但是，经典系统将被大多数人而不是少数人抛弃的想法，似乎最不受欢迎。

　　我对这个论争的沿革，已经作了如此详细介绍，因为我想这是最谨慎的对数学的严格性是不可改变的说法的异议。这发生在我们自身的 时代 ，我惭愧地知道自己关于绝对的数学真理性看法，在这一时期是怎样容易地改变的，并且是怎样相继地改变了三次的。

　　我希望上述占了我文章一半篇幅的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于 经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的、绝对的、不可变动的数学严格性的概念。关于这个 问题 ，我企图采取一种低姿态，不管你对 哲学 或认识论持何种偏爱，任何一个了解数学的人，都会实际感受到一种经验，它很少会支持这样的假设：存在一个先验的数学严格性的概念。然而，我的文章还有另外一事，现在我试图转向这部分。

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　　然后，让我们来看，数学家常规的 工作 方法 和 自然 科学家工作方法的差别在哪里。这种差别的持续，显然影响了从理论学科到实验学科，继而从实验学科到描述学科之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——理论学科作一比较。让我们在这里选取一个与数学最相近的学科——理论物理。数学和理论物理实际上有着许多共同之处。正如我前面已说过的，Euclid几何系统是经典力学公理描述的原型。类似的现象是热力学的陈述，充满着如同Maxwell的描述电动力学系统，以及狭义相对论的句子。此外认为理论物理不管是分类的还是综合的，都不是解释现象的态度，今天已为大多数理论物理学家所接受。这意味着，这理论成功的标准，只需看一看它是否能建立一个简单的和雅致的，分类的或综合的能概括许多现象的框架;这些现象如果没有这个框架将会显得复杂和参差不齐的，进而看它是否能概括没有考察到的或者提出框架 时尚 不知晓的现象(这后面两种说法代表一个理论的统一性和预见力)。现在展示在这里的标准——显然极大地扩充了美学的性质，由于这个理由，它和你将要看到的对数学来说几乎完全是美学的成功的标准是很密切相联的。因此，我们现在可以把数学和与它最相近的自然科学作比较，与我想我已说明了的和数学有许多共同之处的理论物理相比较。然而在实际的惯用的方法中差别是巨大的和基本的，理论物理的目标主要来自“外界”，大部分是由于实验物理学的需要。他们几乎总是起因于想解决某一难题，预见和协调的成功通常会跟着到来。这看来是相似的，进展(预见和协调)来自 研究 过程，这种研究对解决某些原先存在的难题是必然要经历的。理论物理中的一部分工作是为了探索某种障碍，这种障碍的“突破”提供了发展，如我已提及的，这些难题通常源于实验;但是有时它们却是可接受的理论本身中各部分之间的不协调之处，当然，例子也是不少的。

　　Michelson实验导致狭义相对论，某些电离电位和光谱结构的难题导致量子力学，这些就是第一种情况的例子;狭义相对论和Newton引力 理论 之间的冲突导致广义相对论，这是第二种情况的例子，这里从任何方面看，理论物理的 问题 都是客观地给定的，而作为衡量成功的标准，如我在上面所指出的，主要是美学的。但是也有一部分，我们上面提及过的具有基本的“突破”的问题，很难说它起源于客观实在。据此可见，理论物理的课题几乎各个时期都是非常集中的，一切物 理学 家的最重要的努力都集中在一、二个十分尖锐的领域，1920年代和1930年代初，集中在量子理论，1930年代后半期集中在基本粒子和核结构方面就是一些例子。

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　　你将会注意到，我不曾提到数学与实验科学和技术科学之间的比较。这里， 方法 上的和一般气氛上的差别是太明显了。

　　数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理是太复杂了，以至能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面;它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需要进一步强调，因为一门数学学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是简接地来自“现实性”，是由现实激励生成的第二和第三代学科的话，这是一个最大的危险。它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响之下的话，这不是坏事。但是也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险。开始时，风格是古典的，当它显示出怪异时，危险就来了。要给出这样的例子是容易的，它们沿着一些特殊进展进入怪异的，以至高度奇异的状态，但是细说这些就太技术化了。

　　在任何事件中，不管它已达到什么样的阶段，对我来说仅有的补救是回复到源泉去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去。我相信，这些要求过去是保持学科的生气勃勃和有效性的必要条件，今后，它同样将仍然是正确的。

　　数学论文怎么写篇二

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学习啦在线学习网 　　摘要：快乐的学习是人不断发展的前提和基础。在教学中，创设童趣情境，让课堂生活化;利用童趣语言，让氛围活跃化;开发童趣游戏，让练习趣味化。让孩子拥有快乐、童趣的数学课堂。

　　关键词：童趣;童言;生活化;活跃化

　　中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578(2013)12-0196-01

学习啦在线学习网 　　《数学课程标准》指出，义务教育阶段的数学课程应以学生的发展为本，促进学生全面、持续、和谐的发展。快乐的学习是人不断发展的前提和基础。新课程标准的理念之一就是要唤起学生要学习的需求，只有那些符合儿童"玩"的天性的教学，才能唤起学生的探究欲，才能激发学生学习的动机。

学习啦在线学习网 　　低年级学生的直观形象思维强，有意注意时间短，而故事是他们喜闻乐见的，玩游戏又是他们的所好，丰富多彩的活动可以增强数学内容的趣味性，激发学生对数学学习的情感。因而，在教学中，可以创设富有童趣的学习情境、采用童趣的语言、加入童趣的游戏"串联"和组织"包装"数学知识，使学生在玩中学，学中玩。这样，孩子们学得有趣，学得愉快，学得轻松，从而更愿意去亲近数学。我们应当不断探索，让孩子们在数学课堂中遨游，不仅仅是学数学，而是"玩"数学，只有让儿童在课堂上真正活跃起来，觉得数学好"玩"，才能以旺盛和高昂的精神状态去积极参与学习过程。

　　1.创设童趣情境，让课堂生活化

　　创设有趣、有效的教学情境，可使数学变得更鲜活、更有吸引力。课堂教学中，以学生已有的生活经验出发，熟悉的生活为素材，创设一种模拟生活的情境，让学生在生动、具体、现实的情境中去学习数学、玩数学，使他们感到数学是可亲可近的，变得喜学、乐学，更容易掌握数学知识和技能，而且可以更好地体验教学内容中的情感，让他们感到数学就在我们身边，在不知不觉的情景中展开对数学问题的探索，在玩中产生求知的欲望。这样课堂教学效率大大提高。

　　例如教学北师大版二年级下册《买衣服》时，问：昨天我们一起逛了文具店，知道今天咱们要去哪转转吗?今天咱们一起去服装店看看吧?学生们一听，逛街，来了兴趣……

　　又如在教学《小小商店》一课时，课前让学生准备好各种学习用品，并在上面贴好价格。在班级里创设了一个小小商店，让小朋友自己来当营业员、顾客，充分体验了如何取币、付币、找币，学会与人合作，分别体验1元、5元和10元钱可以购买不同的商品，在这样的生活情景中，同学们不仅积极主动地参与，而且培养了学生思维的灵活性和解决实际问题的能力，树立学好数学的自信心。

　　2.利用童趣语言，让氛围活跃化

　　课堂教学离不开教师的语言，在课堂教学中，无论是数学知识的传递，还是学生接受知识情况的反馈，以及师生之间的情感交流等都必须依靠教学语言。而对低年级学生来说，让学生弄懂一个抽象的数学问题，大多时候需要教师的"艺术"讲解。让看似枯燥无味的数学，变得生动有趣。因此，教师语言的处理就显得非常重要。要让学生理解数学问题，教师就要用富有童趣化的语言结合儿童的认知特点、兴趣爱好，在不影响知识的前提下，对数学语言进行加工、修饰，使学生就易于理解接受。教学二年级上册《动物聚会》一课时，教师以故事的形式引入：听，什么声音?(放一段聚会的音乐，让学生欣赏)学生马上来了兴致，都认真地听着音乐。教师趁势说："原来今天动物们在开Part呢!(让学生边听音乐边看图)，请小朋友看看动物们都带了些啥好吃的呀?"这时学生的兴趣高涨，都争着说。教师抓住时机又问："看到这么多好吃的，你想知道什么呢?"通过讨论交流，有的学生说："我想知道松果有多少个?"有的学生说："我想知道小兔带来了多少个萝卜?"有的学生说："我想知道小猴子带来了多少个桃子?"……教师由此引导孩子将这些问题一一解决。显然，是由于学生非常熟悉情境中的生活，所以学生不仅学得主动，而且兴致盎然。"我一定还会回来的!"这一句灰太狼的口头禅，相信大家都不会陌生，但是如果在数学课堂中加入的话，那么学生的学习积极性也会跟着调动起来!例如，教学100以内的加减法竖式计算中，出示错误的例题，说："灰太狼来考考大家了!"等学生把错都纠正过来后，就学着灰太狼的语气说："你们这么聪明啊!我一定还会回来的!"

　　3.开发童趣游戏，让练习趣味化

学习啦在线学习网 　　当前的数学教学中，由于受应试教育的影响，机械重复的练习，枯燥乏味的练习，烦琐的死记硬背，基本上无思维价值的练习还很多，加重了学生的课业负担，造成学生对数学练习及数学学习产生厌烦情绪，严重阻碍了学生生动活泼、自由地发展。要克服这些弊端，适应素质教育的需要，设计数学练习时首先应考虑是否有利于促进学生的发展。在促进学生发展方面，趣味性和开放性的练习有着不可替代的作用。虽说练习不仅能检验学生学习的效果，而且能进一步加深学生对所学知识的理解和掌握，为日后学习打好扎实的基础。一种独特的练习形式，能达到事半功倍的效果，而且能使学生感到学习的快乐。例如，在巩固学习加、减混算时，我就问学生： "同学们，坐过公共汽车吗?"同学们齐声回答："乘过。""好，下面我们来玩'乘汽车'的游戏。""瞧，嘀嘀，公交车来了!请6位学生上来乘汽车，到站后下去3人，又上来2人。"学生通过看到的情境，从中明白：上车了，车上的人就多了，下车了，而车上的人也就相应地少了!马上能顺利地编出两步计算的生活中的数学题，计算就更不在话下了。这样的练习自然贴切，趣味猛增，牢牢吸引住学生的注意力，让学生的思维活动同教师的讲课交融在一起，在游戏活动中玩的轻松、愉快、有效地掌握了知识。

学习啦在线学习网 　　教学《小小养殖场》一课，为了让学生更加深刻的领悟"多一些、少一些、多得多、少得多"的相对意义，我设计了猜数游戏，让学生互相从同桌所叙述的描述语言中，依据多少比较的提示猜出数字。一人猜数，其他孩子语言提示。学生甲：我想了一个两位数。学生乙：是20吗?学生甲：不是，比20多得多。学生乙：是70吧。学生甲：比70少一些。……游戏场景为学生灵活的掌握和运用所学知识提供了良好空间，使学生无拘无束的从不同的立场中获得广泛的学活动经验。

　　总之，在数学课堂中我们要融入更多的富有童趣的教学情境、设计出与儿童喜闻乐见的教学游戏，让孩子们在"玩"中学，"趣"中练，感受数学课堂的神奇魅力，对数学课产生兴趣，并鼓励和帮助他们学好数学，掌握更多知识。