八年级上数学期末测试卷
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学习啦在线学习网 天道酬勤,曾经的每一分付出,必将收到百倍回报。现在就到八年级数学期末考试,别忘面带微笑。小编整理了关于八年级上数学期末测试卷，希望对大家有帮助!
八年级上数学期末测试题
学习啦在线学习网 一、选择题：本大题共12小题，其中1-8小题每小题3分，9-12小题每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入表格中.
1.下列图案属于轴对称图形的是( )
学习啦在线学习网 A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
学习啦在线学习网 A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
3.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=8米，OB=6米，A、B间的距离不可能是( )
学习啦在线学习网 A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
学习啦在线学习网 4.若分式 的值为零，则x的值为( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
5.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
6.若分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
学习啦在线学习网 A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.扩大4倍
7.点P(a+b，2a﹣b)与点Q(﹣2，﹣3)关于x轴对称，则a=( )
学习啦在线学习网 A. B. C.﹣2 D.2
8.九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
9.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )
学习啦在线学习网 A.10 B.11 C.12 D.13
10.一辆汽车从山南泽当饭店出发开往拉萨布达拉宫.如果汽车每小时行使V1千米，则t小时可以到达，如果汽车每小时行使V2千米，那么可以提前到达布达拉宫的时间是( )小时.
A. B.
C. D.
学习啦在线学习网 11.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是( )
学习啦在线学习网 A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
12.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上.
13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= .
学习啦在线学习网 14.代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m= .
15.若关于x的分式方程 ﹣1= 无解，则m的值 .
16.如图，四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化简再求值： ，其中x=2，y=5.
18.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1(不写画法);
学习啦在线学习网 (2)若网格上的每个小正方形的边长为2，则△ABC的面积是多少?写出解答过程.
19.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ.
学习啦在线学习网 20.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成.
(1)求两队单独完成此项工程各需多少天?
学习啦在线学习网 (2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们3000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
学习啦在线学习网 21.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论：
学习啦在线学习网 (1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
学习啦在线学习网 22.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
学习啦在线学习网 (1)求证：BE=CF;
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
求证：①ME⊥BC;②DE=DN.
八年级上数学期末测试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，其中1-8小题每小题3分，9-12小题每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项代号填入表格中.
1.下列图案属于轴对称图形的是( )
学习啦在线学习网 A. B. C. D.
学习啦在线学习网 【考点】轴对称图形.
学习啦在线学习网 【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解：根据轴对称图形的概念知A、B、D都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形.故选C.
【点评】轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形.
2.下列计算正确的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
学习啦在线学习网 C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
学习啦在线学习网 【考点】同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘;同底数幂相乘，底数不变指数相加;单项式的除法，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解.
学习啦在线学习网 【解答】解：A、幂的乘方，应底数不变，指数相乘，所以(x3)3=x9，故本选项错误;
B、是同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加，所以a6•a4=a10，故本选项错误;
C、(﹣bc)4÷(﹣bc)2=(﹣bc)4﹣2=b2c2，正确;
D、是同底数幂的除法，应底数不变，指数相减，所以a6÷a3=a3，故本选项错误;
故选C.
【点评】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括幂的乘方、同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.
3.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=8米，OB=6米，A、B间的距离不可能是( )
学习啦在线学习网 A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
学习啦在线学习网 【考点】三角形三边关系.
学习啦在线学习网 【专题】计算题.
【分析】根据三角形的三边关系定理得到2
【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
8﹣6
即：2
∴AB的值在2和14之间.
故选C.
【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键.题型较好.
学习啦在线学习网 4.若分式 的值为零，则x的值为( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】分式的值为0的条件是：(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.
【解答】解：由分式 的值为零，得
|x|﹣2=0且x﹣2≠0.
解得x=﹣2，
故选：B.
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意：“分母不为零”这个条件不能少.
5.如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( )
学习啦在线学习网 A.120° B.180° C.240° D.300°
【考点】多边形内角与外角;三角形内角和定理.
学习啦在线学习网 【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数.
学习啦在线学习网 【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
学习啦在线学习网 四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故选C.
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系.
6.若分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.扩大4倍
【考点】分式的基本性质.
学习啦在线学习网 【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可.
【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得
=2×
学习啦在线学习网 可见新分式是原分式的2倍.
故选：A.
【点评】本题考查了分式的基本性质.解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.
7.点P(a+b，2a﹣b)与点Q(﹣2，﹣3)关于x轴对称，则a=( )
学习啦在线学习网 A. B. C.﹣2 D.2
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
学习啦在线学习网 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答.
学习啦在线学习网 【解答】解：∵点P(a+b，2a﹣b)与点Q(﹣2，﹣3)关于x轴对称，
∴ ，
解得：
则a= .
故选：A.
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
学习啦在线学习网 (1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数;
学习啦在线学习网 (2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;
学习啦在线学习网 (3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.
学习啦在线学习网 8.九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是( )
学习啦在线学习网 A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
【考点】由实际问题抽象出分式方程.
学习啦在线学习网 【分析】表示出汽车的速度，然后根据汽车行驶的时间等于骑车行驶的时间减去时间差列方程即可.
【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
学习啦在线学习网 由题意得， = + .
故选C.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了实际问题抽象出分式方程，读懂题目信息，理解两种行驶方式的时间的关系是解题的关键.
学习啦在线学习网 9.如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可.
学习啦在线学习网 【解答】解：设这个多边形是n边形，
学习啦在线学习网 根据题意得，(n﹣2)•180°=5×360°，
解得n=12.
故选C.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°.
学习啦在线学习网 10.一辆汽车从山南泽当饭店出发开往拉萨布达拉宫.如果汽车每小时行使V1千米，则t小时可以到达，如果汽车每小时行使V2千米，那么可以提前到达布达拉宫的时间是( )小时.
A. B.
C. D.
【考点】列代数式(分式).
【专题】压轴题.
学习啦在线学习网 【分析】每小时行驶v1km，t小时可以到达，则山南泽当饭店与拉萨布达拉宫两地之间的距离即可求出，每小时行驶v2km，则即可求得实际的速度，可以算出时间，进而求得提前到达的小时数.
【解答】解：甲乙两地之间的距离是v1t，实际的速度是v2，
则时间是 ，
学习啦在线学习网 则提前到达的小时数为t﹣ = .
故选D.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了列代数式的知识，正确理解路程、速度、时间之间的关系是解决本题的关键.
11.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是( )
学习啦在线学习网 A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【专题】压轴题.
学习啦在线学习网 【分析】由AB=AC，根据等边对等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可证得△BDF≌△CED(SAS)，根据全等三角形的性质，即可求得∠B=∠C=α，根据三角形的内角和定理，即可求得答案.
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
学习啦在线学习网 ∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED(SAS)，
∴∠BFD=∠EDC，
学习啦在线学习网 ∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
学习啦在线学习网 ∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
学习啦在线学习网 ∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
学习啦在线学习网 ∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°.
故选：A.
学习啦在线学习网 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质.此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用.
12.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是( )
学习啦在线学习网 A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
学习啦在线学习网 【考点】同底数幂的乘法.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值.
学习啦在线学习网 【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52012，
学习啦在线学习网 则5S=5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S=﹣1+52013，
4S=52013﹣1，
则S= .
故选D.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上.
学习啦在线学习网 13.分解因式：a4(x﹣y)+(y﹣x)= (x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1) .
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
学习啦在线学习网 【分析】首先提取公因式(x﹣y)，进而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解：a4(x﹣y)+(y﹣x)
学习啦在线学习网 =(x﹣y)(a4﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a2﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
故答案为：(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.
学习啦在线学习网 14.代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m= ±4 .
【考点】完全平方式.
【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是2x和3的平方，那么中间项为加上或减去2x和3的乘积的2倍.
【解答】解：∵4x2+3mx+9是完全平方式，
学习啦在线学习网 ∴3mx=±2×3•2x，
解得m=±4.
【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解.
学习啦在线学习网 15.若关于x的分式方程 ﹣1= 无解，则m的值 ﹣ 或﹣ .
【考点】分式方程的解.
学习啦在线学习网 【分析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得m的值.
【解答】解：方程两边同乘x(x﹣3)，得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)
(2m+1)x=﹣6
x=﹣ ，
学习啦在线学习网 当2m+1=0，方程无解，解得m=﹣ .
x=3时，m=﹣ ，
x=0时，m无解.
学习啦在线学习网 故答案为：﹣ 或﹣ .
【点评】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案.
学习啦在线学习网 16.如图，四边形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的一点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 100° .
学习啦在线学习网 【考点】轴对称-最短路线问题.
学习啦在线学习网 【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案.
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，
则A′A″即为△AEF的周长最小值.作DA延长线AH，
∵∠C=40°，
∴∠DAB=140°，
∴∠HAA′=40°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=40°，
学习啦在线学习网 ∴∠EAF=140°﹣40°=100°，
学习啦在线学习网 故答案为：100°.
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键.
学习啦在线学习网 三、解答题：本大题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)解分式方程： ;
(2)先化简再求值： ，其中x=2，y=5.
【考点】分式的化简求值;解分式方程.
【分析】(1)利用解分式方程的步骤与方法求得方程的解即可;
(2)按照先算除法，再算加法的运算顺序化简分式，进一步代入求得数值即可.
【解答】解：(1)方程两边同乘(x+2)(x﹣2)，
得：x(x+2)﹣(x2﹣4)=8，
解得：x=2，
学习啦在线学习网 检验：当x=2时，(x+2)(x﹣2)=0，
学习啦在线学习网 ∴x=2不是原方程的解，
∴原分式方程无解.
(2)原式= + •
= ﹣
=
= ，
学习啦在线学习网 当x=2，y=5时，原式= = .
【点评】此题考查解分式方程与分式的化简求值，掌握解方程与分式的化简的步骤与方法是解决问题的关键.
学习啦在线学习网 18.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A(﹣1，3)，B(2，0)，C(﹣3，﹣1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1(不写画法);
学习啦在线学习网 (2)若网格上的每个小正方形的边长为2，则△ABC的面积是多少?写出解答过程.
学习啦在线学习网 【考点】作图-轴对称变换.
【分析】(1)作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可;
(2)利用矩形的面积减去各顶点上三角形的面积即可.
【解答】解：(1)如图;
学习啦在线学习网 (2)∵网格上的每个小正方形的边长为2，
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
学习啦在线学习网 =80﹣16﹣18﹣10=36.
答：△ABC的面积是36.
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.
学习啦在线学习网 19.已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】证明题;压轴题.
学习啦在线学习网 【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ.
学习啦在线学习网 【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
学习啦在线学习网 ∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中 ，
学习啦在线学习网 ∴△ABQ≌△ACF(SAS)，
∴∠F=∠BAQ，
学习啦在线学习网 ∵∠F+∠FAE=90°，
学习啦在线学习网 ∴∠BAQ+∠FAE═90°，
学习啦在线学习网 ∴AF⊥AQ.
学习啦在线学习网 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理.
学习啦在线学习网 20.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3：2，两队共同施工6天可以完成.
学习啦在线学习网 (1)求两队单独完成此项工程各需多少天?
(2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们3000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?
学习啦在线学习网 【考点】分式方程的应用.
【分析】(1)首先表示出两工程队完成需要的时间，进而利用总工作量为1得出等式求出答案;
(2)根据(1)中所求，进而利用两队完成的工作量求出答案.
【解答】解：(1)设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队单独完成此项工程需 x天，由题意得：
+ =1
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，
答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需15× =10(天).
(2)甲队所得报酬：3000× ×6=1200(元)，
学习啦在线学习网 乙队所得报酬：3000× ×6=1800(元)
学习啦在线学习网 答：甲队得到1200元，乙队得到1800元.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意利用总共量为1得出等式是解题关键.
学习啦在线学习网 21.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点.证明下列结论：
(1)AG= AD;
学习啦在线学习网 (2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考点】等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
【专题】压轴题.
学习啦在线学习网 【分析】(1)由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG= AD;
学习啦在线学习网 (2)首先过点D作DH∥BC交AC于点H，易证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
学习啦在线学习网 ∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG= AD;
(2)过点D作DH∥BC交AC于点H，
学习啦在线学习网 ∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF(AAS)，
∴DF=EF;
学习啦在线学习网 (3)∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
学习啦在线学习网 ∴S△ADG=S△HDG，
学习啦在线学习网 ∵△DHF≌△ECF，
∴S△DHF=S△ECF，
学习啦在线学习网 ∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
22.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.
(1)求证：BE=CF;
(2)在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.
学习啦在线学习网 求证：①ME⊥BC;②DE=DN.
学习啦在线学习网 【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰直角三角形.
【专题】证明题;几何综合题.
学习啦在线学习网 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可;
学习啦在线学习网 (2)①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.
学习啦在线学习网 【解答】证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，
学习啦在线学习网 ∴∠B=∠ACB=45°，
学习啦在线学习网 ∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
学习啦在线学习网 ∴∠ACF=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
学习啦在线学习网 ∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
学习啦在线学习网 ∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
学习啦在线学习网 在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF;
(2)①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
学习啦在线学习网 ∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
学习啦在线学习网 ∴DE=HE，
学习啦在线学习网 ∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
学习啦在线学习网 ∴ME⊥BC;
学习啦在线学习网 ②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
学习啦在线学习网 ∴AC=CE，
学习啦在线学习网 在Rt△ACM和Rt△ECM中
， ，
学习啦在线学习网 ∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°，
又∵∠DAE= ×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD= BC，
学习啦在线学习网 在△ADE和△CDN中，
，
∴△ADE≌△CDN(ASA)，
学习啦在线学习网 ∴DE=DN.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角.
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