高二下册数学三角函数知识点总结
高二下册数学三角函数知识点总结
数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是学习啦小编为您整理的关于高二下册数学三角函数知识点总结的相关资料，供您阅读。
高二下册数学三角函数知识点总结
01锐角三角函数定义
锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c
学习啦在线学习网 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c
正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b
余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a
学习啦在线学习网 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b
学习啦在线学习网 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a
02互余角的三角函数间的关系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
03平方关系
学习啦在线学习网 sin^2(α)+cos^2(α)=1
学习啦在线学习网 tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
04积的关系
学习啦在线学习网 sinα=tanα·cosα
学习啦在线学习网 cosα=cotα·sinα
学习啦在线学习网 tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
05倒数关系
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
学习啦在线学习网 cosα·secα=1
06锐角三角函数公式
两角和与差的三角函数：
学习啦在线学习网 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
学习啦在线学习网 tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
三角和的三角函数：
学习啦在线学习网 sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
学习啦在线学习网 cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
学习啦在线学习网 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
倍角公式：
学习啦在线学习网 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
学习啦在线学习网 cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
半角公式：
学习啦在线学习网 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
学习啦在线学习网 tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
降幂公式
学习啦在线学习网 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
学习啦在线学习网 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
万能公式：
学习啦在线学习网 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
学习啦在线学习网 cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
学习啦在线学习网 cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
学习啦在线学习网 sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
推导公式：
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
其他：
学习啦在线学习网 sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
学习啦在线学习网 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
学习啦在线学习网 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有
学习啦在线学习网 正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
学习啦在线学习网 余切函数 cotθ=x/y
学习啦在线学习网 正割函数 secθ=r/x
学习啦在线学习网 余割函数 cscθ=r/y
正弦(sin):角α的对边比上斜边
余弦(cos):角α的邻边比上斜边
学习啦在线学习网 正切(tan):角α的对边比上邻边
学习啦在线学习网 余切(cot):角α的邻边比上对边
正割(sec):角α的斜边比上邻边
余割(csc):角α的斜边比上对边
学习啦在线学习网 三角函数万能公式
万能公式
学习啦在线学习网 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
学习啦在线学习网 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
学习啦在线学习网 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
学习啦在线学习网 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
学习啦在线学习网 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
学习啦在线学习网 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
学习啦在线学习网 (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
万能公式为：
设tan(A/2)=t
学习啦在线学习网 sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)
学习啦在线学习网 tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z)
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.
三角函数关系
倒数关系
学习啦在线学习网 tanα ·cotα=1
学习啦在线学习网 sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系
学习啦在线学习网 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
学习啦在线学习网 cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
学习啦在线学习网 1+tan^2(α)=sec^2(α)
学习啦在线学习网 1+cot^2(α)=csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
倒数关系
学习啦在线学习网 对角线上两个函数互为倒数;
商数关系
六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)。由此，可得商数关系式。
平方关系
学习啦在线学习网 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
学习啦在线学习网 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ)
学习啦在线学习网 二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
学习啦在线学习网 cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
tan(1/2*α)=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α
半角的正弦、余弦和正切公式
学习啦在线学习网 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
学习啦在线学习网 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
学习啦在线学习网 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
学习啦在线学习网 tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/(1+tan^2(α/2))
cosα=(1-tan^2(α/2))/(1+tan^2(α/2))
tanα=(2tan(α/2))/(1-tan^2(α/2))
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
学习啦在线学习网 tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
诱导公式
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
学习啦在线学习网 sin(2kπ+α)=sinα k∈z
学习啦在线学习网 cos(2kπ+α)=cosα k∈z
tan(2kπ+α)=tanα k∈z
cot(2kπ+α)=cotα k∈z
学习啦在线学习网 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
学习啦在线学习网 sin(π+α)=-sinα
学习啦在线学习网 cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
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