高考数学函数的单调性与最值复习试题(带答案)
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学习啦在线学习网 高考数学函数的单调性与最值复习试题及答案解析
一、选择题
1.(2013•宣城月考)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )
学习啦在线学习网 A.y=log2x B.y=x
C.y=-12x D.y=1x
D [y=log2x在(0,+∞)上为增函数;
y=x 在(0,+∞)上是增函数;
学习啦在线学习网 y=12x在(0,+∞)上是减函数,
y=-12x在(0,+∞)上是增函数;
学习啦在线学习网 y=1x在(0,+∞)上是减函数,
故y=1x在(0,1)上是减函数.故选D.]
2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f(1)=( )
学习啦在线学习网 A.-7 B.1
学习啦在线学习网 C.17 D.25
D [依题意,知函数图象的对称轴为x=--m8=m8=-2,即 m=-16,从而f(x)=4x2+16x+5,f(1)=4+16+5=25.]
3.(2014•佛山月考)若函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
学习啦在线学习网 B [∵y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,
学习啦在线学习网 ∴a<0,b<0,
∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-b2a<0,
∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.]
4.“函数f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的( )
学习啦在线学习网 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
学习啦在线学习网 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
学习啦在线学习网 A [若函数f(x)在[a,b]上为单调递增(减)函数,则在[a,b]上一定存在最小(大)值f(a),最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之,不一定成立,如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0,2]存在最大值和最小值,但该函数在[0,2]不具有单调性,所以必要性不满足,即“函数f(x)在[a,b]上单调”是“函数f(x)在
[a,b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.]
5.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=ln x,则有 ( )
学习啦在线学习网 A.f(13)<f(2)<f(12)
B.f(12)<f(2)<f(13)
学习啦在线学习网 C.f(12)<f(13)<f(2)
D.f(2)<f(12)<f(13)
C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,当x≥1时,f(x)=ln x,可知当x≥1时f(x)为增函数,所以当x<1时f(x)为减函数,因为|12-1|<|13-1|<|2-1|,所以f(12)<f(13)<f(2).故选C.]
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( )
A.最小值f(a) B.最大值f(b)
学习啦在线学习网 C.最小值f(b) D.最大值fa+b2
C [∵f(x)是定义在R上的函数,且f(x+y)=f(x)+f(y),
学习啦在线学习网 ∴f(0)=0,令y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.
学习啦在线学习网 ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.
设x1<x2,则x1-x2<0,
学习啦在线学习网 ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.
学习啦在线学习网 ∴f(x)在R上是减函数.
学习啦在线学习网 ∴f(x)在[a,b]有最小值f(b).]
7.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=ln x,则有( )
A.f13<f(2)<f12
B.f12<f(2)<f13
学习啦在线学习网 C.f12<f13<f(2)
D.f(2)<f12<f13
学习啦在线学习网 C [由f(2-x)=f(x)可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x≥1时,f(x)=ln x,可知当x≥1时f(x)为增函数,所以当x<1时f(x)为减函数,因为12-1<13-1<|2-1|,所以f12<f13<f(2).]
8.(2014•黄冈模拟)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M,最小值为m,则mM的值为( )
A.14 B.12
学习啦在线学习网 C.22 D.32
C [显然函数的定义域是[-3,1]且y≥0,故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4,根据根式内的二次函数,可得4≤y2≤8,故2≤y≤22,即m=2,M=22,所以mM=22.]
二、填空题
学习啦在线学习网 9.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
解析 y=-(x-3)|x|
=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0.
作出该函数的图象,
观察图象知递增区间为0,32.
答案 0,32
10.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
解析 设x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),
而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2
=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)
=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0,
则2a-1>0.得a>12.
答案 12,+∞
三、解答题
11.已知f(x)=xx-a(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
学习啦在线学习网 (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
学习啦在线学习网 解析 (1)证明:设x1<x2<-2,
学习啦在线学习网 则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)设1<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).
∵a>0,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,
只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
∴a≤1.
学习啦在线学习网 综上所述,a的取值范围为(0,1].
12.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],
a+b≠0时,有f(a)+f(b)a+b>0成立.
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明;
(2)解不等式:f(x+12)
学习啦在线学习网 (3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1
学习啦在线学习网 则-x2∈[-1,1],
学习啦在线学习网 ∵f(x)为奇函数,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2),
由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)
学习啦在线学习网 ∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,
∴x+12<1x-1,-1≤x+12≤1,-1≤1x-1≤1.
学习啦在线学习网 解得-32≤x<-1.
(3)∵f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增.
∴在[-1,1]上,f(x)≤1.
问题转化为m2-2am+1≥1,
即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]成立.
学习啦在线学习网 设g(a)=-2m•a+m2≥0.
学习啦在线学习网 ①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必须g(-1)≥0且g(1)≥0,
学习啦在线学习网 ∴m≤-2,或m≥2.
∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.
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