数学高考对数函数必考知识点
在高中高考数学教学中,指数函数与对数函数是教学的重点与难点，下面是学习啦小编给大家带来的数学高考对数函数必考知识点，希望对你有帮助。
对数函数必考知识点
对数定义
学习啦在线学习网 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
注：1、以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。
学习啦在线学习网 2、称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。
学习啦在线学习网 3、零没有对数。
学习啦在线学习网 4、在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。
对数公式
对数函数定义
学习啦在线学习网 一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
对数函数性质
学习啦在线学习网 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}
值域：实数集R，显然对数函数无界。
学习啦在线学习网 定点：函数图像恒过定点(1，0)。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;
学习啦在线学习网 奇偶性：非奇非偶函数
周期性：不是周期函数
对称性：无
最值：无
零点：x=1
学习啦在线学习网 注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)
当a>1,b>1时，y=logab>0;
当01时，y=logab<0;
当a>1,0
对数的基本性质及推导过程
基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(a^b)=b
学习啦在线学习网 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
学习啦在线学习网 所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
学习啦在线学习网 又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与(3)类似处理
MN=M÷N
学习啦在线学习网 由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
学习啦在线学习网 又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与(3)类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
学习啦在线学习网 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
学习啦在线学习网 又因为指数函数是单调函数，所以
学习啦在线学习网 log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
学习啦在线学习网 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
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