广东高一数学充分条件与必要条件知识点
广东高一数学充分条件与必要条件知识点
充分条件和必要条件是数学的重要概念,同时因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是学习啦小编给大家带来的广东高一数学充分条件与必要条件知识点，希望对你有帮助。
数学充分条件与必要条件知识点
一、充分条件和必要条件
当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法
1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可
学习啦在线学习网 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件。
学习啦在线学习网 若A⊇B，则p是q的必要条件。
学习啦在线学习网 若A=B，则p是q的充要条件。
学习啦在线学习网 若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
学习啦在线学习网 (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;
学习啦在线学习网 (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;
(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
学习啦在线学习网 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
数学充分条件与必要条件内容练习及解析
学习啦在线学习网 一、选择题(每小题3分,共18分)
学习啦在线学习网 1.使x>1成立的一个必要条件是( )
学习啦在线学习网 A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2
【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )
学习啦在线学习网 A.0<x<2B.-1<x<1
C. <x< D. <x<2
学习啦在线学习网 【解析】选C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C中由 <x< 可以推出0<x<1,其余均不可,故选C.
3.下列p是q的必要条件的是( )
学习啦在线学习网 A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:a<b,q:a <b+1D.p:a>b,q:a>b+1
学习啦在线学习网 【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.
学习啦在线学习网 4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( )
①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1B.2C.3D.4
【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.
学习啦在线学习网 【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;
②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;
③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;
学习啦在线学习网 ④由于p:直线a,b不相交 q:a∥b,所以p不是q的充分条件.
学习啦在线学习网 5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是 <x< ,则实数a的取值范围是( )
A. <a< B. ≤a≤
学习啦在线学习网 C.a> 或a< D.a≥ 或a≤
【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,
由题意知 (a-1,a+1),
则有 且等号不同时成立,
解得 ≤a≤ ,故选B.
【变式训练】集合A= ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是 _____________.
【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范围是-2<b<2.
学习啦在线学习网 答案:(-2,2)
6.已知等比数列{an}的公比为q,则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是
( )
①a1<a2;②a1>0,q>1;③a1>0,0<q<1;④a1<0,0<q<1.
A.①②B.①③C.③④D.①③④
【解析】选B.由等比数列{an}是递增数列⇔an<an+1⇔a1qn-1<a1qn⇔a1qn-1(1-q)<0,
若a1>0,则qn-1(1-q)<0,得q>1;
学习啦在线学习网 若a1<0,则qn-1(1-q)>0,得0<q<1.
学习啦在线学习网 所以等比数列{an}是递增数列⇔a1>0,q>1或a1<0,0<q<1.
所以a1>0,q>1⇒等比数列{an}是递增数列,
或a1<0,0<q<1⇒等比数列{an}是递增数列;
由a1<a2不能推出等比数列{an}是递增数列,如a1=-1,a2=2.
【举一反三】若把本题中的“不是{an}为递增数列的充分条件”改为“是{an}为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?
【解析】由等比数列{an}是递增数列⇒a1<a2.
学习啦在线学习网 由等比数列{an}是递增数列 a1>0,q>1,
由等比数列{an}是递增数列 a1>0,0<q<1,
由等比数列{an}是递增数列 a1<0,0<q<1.
故a1<a2是{an}为递增数列的必要条件.
学习啦在线学习网 二、填空题(每小题4分,共12分)
学习啦在线学习网 7.“lgx>lgy”是“ > ”的 条件.
学习啦在线学习网 【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒ > .而 > 有可能出现x>0,y=0的情况,故 > lgx>lgy.
答案:充分
学习啦在线学习网 【变式训练】“x>y”是“lgx>lgy”的 条件.
【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y<x<0,
lgx与lgy无意义,而lgx>lgy⇒x>y.
答案:必要
8.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是 _________.
【解析】由于f(x)=a- 定义域为R,且为奇函数,
学习啦在线学习网 则必有f(0)=0,即a- =0,所以a=1.
答案:a=1
学习啦在线学习网 9.(2014•广州高二检测)满足tanα=1的一个充分条件是α= (填一角即可)
学习啦在线学习网 【解析】由于tanα=1,故α=kπ+ (k∈Z),
取α= ,显然,α= 是tanα=1的一个充分条件.
答案:
学习啦在线学习网 三、解答题(每小题10分,共20分)
10.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)p:sinθ=0,q:θ=0.
学习啦在线学习网 (2)p:θ=π,q:tanθ=0.
(3)p:a是整数,q:a是自然数.
(4)p:a是素数,q:a不是偶数.
学习啦在线学习网 【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,
所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
学习啦在线学习网 (2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,
所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.
学习啦在线学习网 (3)由于p:a是整数 q:a是自然数,
学习啦在线学习网 p:a是整数⇐q:a是自然数,
学习啦在线学习网 所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,
所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.
学习啦在线学习网 11.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p是q的什么条件?
学习啦在线学习网 【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.
学习啦在线学习网 若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,
则x1+x2=-a,x1x2=b.
于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.
所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以
即 ⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
学习啦在线学习网 一、选择题(每小题4分,共16分)
1.不等式1- >0成立的充分条件是( )
学习啦在线学习网 A.x>1B.x>-1
学习啦在线学习网 C.x<-1或0<x<1D.x<0或x>1
【解析】选A.不等式1- >0等价于 >0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,故选A.
2.(2014•青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是
( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
学习啦在线学习网 【解析】选D.因为函数y=x2+bx+ c在[0,+∞)上单调,所以x=- ≤0,即b≥0,
显然b≥0⇒b>-1,故选D.
学习啦在线学习网 【举一反三】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
学习啦在线学习网 【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.
学习啦在线学习网 3.(2014•兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( B)的既是充分条件,又是必要条件的是( )
A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5
【解析】选A.因为P∈A∩( B),
所以P∈A且P∉B,所以
所以 故选A.
4.(2014•天津高二检测)设a,b为向量,则“a•b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.若a,b中有零向量,则a•b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中无零向量,则设a,b的夹角为θ,a•b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a∥b,故有a•b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,则有a•b=|a||b|或a•b=-|a||b|,
故“a•b=|a||b|”是“a∥b”的充分条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
学习啦在线学习网 5.如果命题“若A ,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的 条件.
【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,
又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,
学习啦在线学习网 所以A是B的必要条件.
答案:必要
学习啦在线学习网 6.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是 ____________.
【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,
学习啦在线学习网 所以|a|=5的一个充分条 件是x=4(或x=-4).
学习啦在线学习网 答案:x=4(或x=-4)
三、解答题(每小题12分,共24分)
学习啦在线学习网 7.已知p:x 2-2x-3<0,若- a<x-1<a是p的一个必要条件但不是充分条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,
学习啦在线学习网 -a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).
依题意,得{x|-1<x<3} {x|1-a<x<1+a}(a>0),
所以 解得a>2,
学习啦在线学习网 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,
学习啦在线学习网 即(-∞,2].
8.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.
学习啦在线学习网 【解析】因为p是q的充分条件,
学习啦在线学习网 所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥ 恒成立,
又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,
所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.