9年级数学上期末试卷(2)
9年级数学上期末试卷参考答案
学习啦在线学习网 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
学习啦在线学习网 1.方程x(x+2)=0的解是( )
学习啦在线学习网 A.﹣2 B.0，﹣2 C.0，2 D.无实数根
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】根据方程即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
学习啦在线学习网 【解答】解：x(x+2)=0，
学习啦在线学习网 x=0，x+2=0，
学习啦在线学习网 x1=0，x2=﹣2，
故选B.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.
学习啦在线学习网 2.两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是( )
学习啦在线学习网 A. ： B.2：3 C.2：5 D.4：9
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可.
学习啦在线学习网 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
学习啦在线学习网 ∴这两个三角形的面积比是4：9，
故选：D.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.
学习啦在线学习网 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosA的值是( )
学习啦在线学习网 A. B. C. D.
学习啦在线学习网 【考点】锐角三角函数的定义.
学习啦在线学习网 【分析】根据勾股定理求出AB，根据余弦的定义计算即可.
【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = ，
学习啦在线学习网 ∴cosA= = ，
故选：D.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
4.已知A(﹣1，y1)，B(2，y2)是抛物线y=﹣(x+2)2+3上的两点，则y1，y2的大小关系为( )
A.y1>y2 B.y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】抛物线的对称轴为直线x=﹣2，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即可判定.
学习啦在线学习网 【解答】解：∵y=﹣(x+2)2+3，
学习啦在线学习网 ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2，抛物线开口向下，
学习啦在线学习网 ∴当x>﹣2，y随x的增大而减小，
∵﹣2<﹣1<2，
所以y1>y2.
故选A.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.
学习啦在线学习网 5.如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
学习啦在线学习网 【考点】点与圆的位置关系;线段垂直平分线的性质.
学习啦在线学习网 【分析】连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM=ON=OQ，据此可得出结论.
【解答】解：连接OM，ON，OQ，OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
学习啦在线学习网 ∴OM=ON=OQ，
学习啦在线学习网 ∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，
∴点P不一定在圆上.
故选C.
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.
学习啦在线学习网 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是( )
学习啦在线学习网 A.r≥1 B.1≤r≤ C.1≤r≤ D.1≤r≤4
【考点】直线与圆的位置关系;三角形的内切圆与内心.
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据题意得出四边形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB= =5，由内心的性质得出CF=OF=1，AF=AC﹣CF=3，由勾股定理求出OA，由直线与圆的位置关系，即可得出结果.
学习啦在线学习网 【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示
则四边形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
∵O是△ABC的内心，
∴CE=CF=OF=OE= (AC+BC﹣AB)=1，
学习啦在线学习网 ∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，
∴OA= = = ，OB= = = ，
当r=1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点;
当1
当
∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤ ;
故选：C.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识;熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出OA是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
学习啦在线学习网 7.一组数据﹣2，﹣1，0，3，5的极差是 7 .
【考点】极差.
学习啦在线学习网 【分析】根据极差的定义即可求得.
【解答】解：由题意可知，极差为5﹣(﹣2)=7.
故答案为：7.
学习啦在线学习网 【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.注意：①极差的单位与原数据单位一致.②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确.
8.某车间生产的零件不合格的概率为 .如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说， 100 天会查出1个次品.
【考点】概率的意义.
学习啦在线学习网 【分析】根据题意首先得出抽取1000个零件需要100天，进而得出答案.
【解答】解：∵某车间生产的零件不合格的概率为 ，每天从他们生产的零件中任取10个做试验，
学习啦在线学习网 ∴抽取1000个零件需要100天，
学习啦在线学习网 则100天会查出1个次品.
学习啦在线学习网 故答案为：100.
学习啦在线学习网 【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解 的意义是解题关键.
学习啦在线学习网 9.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 .
【考点】列表法与树状图法.
学习啦在线学习网 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与3次抛掷的结果都是正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，3次抛掷的结果都是正面朝上的只有1种情况，
学习啦在线学习网 ∴3次抛掷的结果都是正面朝上的概率是： .
故答案为： .
学习啦在线学习网 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
10.某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图统计表.根据表中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数为 520 人.
学习啦在线学习网 时间(小时) 4 5 6 7 8
学习啦在线学习网 人数(人) 3 9 18 15 5
【考点】用样本估计总体;加权平均数.
【分析】用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可.
学习啦在线学习网 【解答】解：该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1300× =520人.
学习啦在线学习网 故答案为：520.
【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中不少于7小时的人数所占的百分比.
11.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 (度).
学习啦在线学习网 【考点】切线的性质.
学习啦在线学习网 【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案.
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
学习啦在线学习网 ∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
学习啦在线学习网 ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
学习啦在线学习网 ∴∠C= ∠AOB=55°.
故答案为：55.
学习啦在线学习网 【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.
学习啦在线学习网 12.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则tan∠ACG= 1 .
【考点】正多边形和圆.
【分析】首先证明 = = 圆周长，然后求出 = ×360°=90°，问题即可解决.
【解答】解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O;
∵正八边形ABCDEFGH的各边相等，
∴ = = 圆周长，
学习啦在线学习网 ∴ = ×360°=90°，
学习啦在线学习网 ∴圆周角∠ACG= ×90°=45°.
学习啦在线学习网 ∴tan∠ACG=1.
故答案为：1.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查的是正多边形和圆，该题以正多边形及其外接圆为载体，以正多边形的性质及其应用的考查为核心构造而成;对分析问题解决问题能力提出了一定的要求.
学习啦在线学习网 13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 6 cm.
【考点】圆锥的计算.
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长.
学习啦在线学习网 【解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则： =4π，
解得R=6.
故答案为：6.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长;弧长公式为： .
14.如图，小明做实验时发现，当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动，三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时， 的长度不变.若⊙O的半径为9，则 的长等于 3π .
【考点】弧长的计算.
【分析】连结OP、OQ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得出∠POQ=2∠A=60°，再根据弧长公式列式计算即可.
【解答】解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ=2∠A=60°.
∵⊙O的半径为9，
学习啦在线学习网 ∴ 的长= =3π.
故答案为3π.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式以及圆周角定理的内容.
学习啦在线学习网 15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=130°，则扇形OBAD的面积为 10π .
【考点】扇形面积的计算;圆内接四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】连结OB、OD，如图，先利用圆内接四边形的性质计算出∠C=180°﹣∠A=50°，再根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=100°，然后利用扇形的面积公式计算扇形OBAD的面积.
【解答】解：连结OB、OD，如图，
学习啦在线学习网 ∵∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣130°=50°，
学习啦在线学习网 ∴∠AOD=2∠C=100°，
∴扇形OBAD的面积= =10π.
故答案为10π.
【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形= •πR2或S扇形= lR(其中l为扇形的弧长).也考查了圆周角定理.
学习啦在线学习网 16.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+1(m≠0)的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过两个定点(0，1)和( 2 ， 1 ).
学习啦在线学习网 【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
学习啦在线学习网 【分析】先把原函数化为y=mx(x﹣2)+1的形式，再根据当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，把x的值代入函数解析式即可得出y的值，进而得出两点坐标.
【解答】解：∵原函数化为y=mx(x﹣2)+1的形式，
∴当x=0或x﹣2=0时函数值与m值无关，
学习啦在线学习网 ∵当x=0时，y=1;当x=2时，y=1，
学习啦在线学习网 ∴两定点坐标为：(0，1)，(2，1).
故答案为：2，1.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意把函数化为y=mx(x﹣2)+1的形式是解答此题的关键.
三、解答题(本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算：sin45°﹣cos30°tan60°
(2)解方程：x2﹣4x﹣1=0.
【考点】特殊角的三角函数值;解一元二次方程-公式法.
学习啦在线学习网 【分析】(1)将特殊角的三角函数值代入求解;
学习啦在线学习网 (2)利用公式法求解一元二次方程即可.
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)原式= ﹣ ×
= ﹣
= ;
(2)∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，
学习啦在线学习网 △=b2﹣4ac=20>0，
学习啦在线学习网 ∴x= ，
即x1=2+ ，x2=2﹣ .
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及利用公式法求解一元二次方程，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及解一元二次方程的方法.
18.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少?
【考点】相似三角形的应用.
学习啦在线学习网 【专题】探究型.
学习啦在线学习网 【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值.
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
学习啦在线学习网 ∴△ABE∽△ACD，
学习啦在线学习网 ∴ = ，
学习啦在线学习网 ∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，
∴AC=10，
∴ = ，
学习啦在线学习网 ∴CD=7.5.
学习啦在线学习网 答：楼高CD是7.5m.
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键.
学习啦在线学习网 19.赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦)长为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径(结果保留小数点后一位).
学习啦在线学习网 【考点】垂径定理的应用;勾股定理.
学习啦在线学习网 【分析】将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答.
学习啦在线学习网 【解答】解：设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示：
∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD= AB=18.7m，
∴AD2=OA2﹣(OC﹣CD)2，即18.72=AO2﹣(AO﹣7.2)2，
解得：AO≈27.9m.
即圆弧半径为27.9m.
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
20.一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上为合格.成绩达到9分为优秀.这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
学习啦在线学习网 平均分 方差 中位数 合格率 优秀率
甲组 6.9 2.4 91.7% 16.7%
学习啦在线学习网 乙组 1.3 83.3% 8.3%
学习啦在线学习网 (2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组.但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组.请你给出三条支持乙组学生观点的理由.
【考点】条形统计图;加权平均数;中位数;方差.
【专题】图表型.
学习啦在线学习网 【分析】(1)本题需先根据中位数的定义，再结合统计图得出它们的平均分和中位数即可求出答案.
(2)本题需先根据统计图，再结合它们的合格率、优秀率说出它们各自的观点是本题所求的答案.
【解答】解：(1)从统计图中可以看出：
学习啦在线学习网 甲组：中位数7;
学习啦在线学习网 乙组：平均分7，中位数7;
(2)①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组;
学习啦在线学习网 ②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组;
③因为乙组7分以上人数多于甲组7分以上人数，所以乙组学生的成绩好于甲组.
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
学习啦在线学习网 21.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘.被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3(如图所示).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去;否则小亮去.
(1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率;
(2)你认为该游戏公平吗?请说明理由;若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平.
【考点】游戏公平性.
学习啦在线学习网 【专题】压轴题.
学习啦在线学习网 【分析】(1)首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率;
学习啦在线学习网 (2)根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平;使游戏公平，只要概率相等即可.
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)画树状图得：
学习啦在线学习网 ∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，
∴P(和小于4)= = ，
学习啦在线学习网 ∴小颖参加比赛的概率为： ;
(2)不公平，
学习啦在线学习网 ∵P(小颖)= ，
P(小亮)= .
∴P(和小于4)≠P(和大于等于4)，
∴游戏不公平;
可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛;否则，小亮去参赛.
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.
学习啦在线学习网 22.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根.
学习啦在线学习网 (1)求实数m的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，求实数m的值.
【考点】根的判别式;根与系数的关系.
【分析】(1)由关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，可得△>0，继而求得实数m的取值范围;
(2)由方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，可得方程1+m=m2﹣1，继而求得答案.
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=1﹣4m>0，
学习啦在线学习网 即m< ;
(2)由根与系数的关系可知：x1+x2=1，x1•x2=m，
学习啦在线学习网 ∴1+m=m2﹣1，
学习啦在线学习网 整理得：m2﹣m﹣2=0，
学习啦在线学习网 解得：m=﹣1或m=2，
学习啦在线学习网 ∵m< ，
∴所求m的值为﹣1.
学习啦在线学习网 【点评】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系.注意△>0⇔方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q.
23.用40cm长的铁丝围成一个扇形，求此扇形面积的最大值.
【考点】扇形面积的计算;二次函数的最值.
学习啦在线学习网 【分析】设出圆的半径和弧长，由扇形的面积公式S扇形= lr，得出关于半径的二次函数，由二次函数的顶点坐标得出扇形面积的最大值.
【解答】解：设半径为r，弧长为l，则40=2r+l，
学习啦在线学习网 ∴l=40﹣2r，
学习啦在线学习网 ∴S扇形= lr= r (40﹣2r)=﹣r2+20r=﹣(r﹣10)2+100，
学习啦在线学习网 ∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm2.
【点评】本题考查了扇形的面积公式，以及二次函数的最值问题，用扇形的半径表示成面积的二次函数是解题的关键.
学习啦在线学习网 24.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于距发射架底部4km处的地面雷达站R(LR=4)测得火箭底部的仰角为43°.1s后，火箭到达B点，此时测得火箭底部的仰角为45.72°.这枚火箭从A到B的平均速度是多少 (结果取小数点后两位)?
(参考数据：sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933，
sin45.72°≈0.716，cos45.72°≈0.698，tan45.72°≈1.025)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
【专题】探究型.
学习啦在线学习网 【分析】根据题意可以得到AL和BL的长度，从而可以得到AB的长度，根据由A到B用的时间为1s，从而可以求得这枚火箭从A到B的平均速度.
【解答】解：∵在Rt△ALR中，tan43°= ，LR=4，
学习啦在线学习网 ∴AL=4×0.933=3.732，
学习啦在线学习网 ∵在Rt△BLR中，tan45.72°= ，LR=4，
∴BL=4×1.025=4.1，
∴AB=4.1﹣3.732=0.368≈0.37，
学习啦在线学习网 ∵火箭从A到B用时1s，
∴火箭从A到B的平均速度为：0.37÷1=0.37km/s，
即这枚火箭从A到B的平均速度是0.37km/s.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
25.如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的 ，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位，参考数据： ≈2.236).
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何图形问题.
【分析】设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，根据封面的面积关系建立方程求出其解即可.
学习啦在线学习网 【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，
学习啦在线学习网 则(40﹣8x)(30﹣6x)= ×40×30.
学习啦在线学习网 整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2 ，
学习啦在线学习网 ∴x1≈0.53，x2≈9.47(舍去)，
答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm.
学习啦在线学习网 解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，
学习啦在线学习网 则4x×3x= ×40×30，
学习啦在线学习网 解得x1=4 ，x2=﹣4 (舍去)，
∴上、下边衬宽为20﹣8 ≈2.1，左、右边衬宽均为15﹣6 ≈1.6，
学习啦在线学习网 答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm.
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键.
26.如图①，A、B、C、D四点共圆，过点C的切线CE∥BD，与AB的延长线交于点E.
(1)求证：∠BAC=∠CAD;
学习啦在线学习网 (2)如图②，若AB为⊙O的直径，AD=6，AB=10，求CE的长;
(3)在(2)的条件下，连接BC，求 的值.
学习啦在线学习网 【考点】切线的性质;相似三角形的判定与性质.
学习啦在线学习网 【专题】计算题.
学习啦在线学习网 【分析】(1)连结OC，如图①，根据切线的性质得OC⊥CE，由于CE∥BD，则OC⊥BD，再根据垂径定理得到 = ，然后利用圆周角定理可得∠BAC=∠CAD;
(2)如图②，连结OC交BD于E，由(1)得OC⊥BD，则BE=DE，根据圆周角定理得到∠D=90°，则利用勾股定理可计算出BD=8，所以BE= BD=4，在Rt△OBE中计算出OE=3，再证明△OBE∽△OCE，然后利用相似比可计算出CE的长;
(3)先计算出CE=2，由于 = ，则∠CDB=∠CAB，根据正切定义得到tan∠CBE= = ，则tan∠CBE= tan∠CAB= ，即得到 = .
学习啦在线学习网 【解答】(1)证明：连结OC，如图①，
∵CE为切线，
学习啦在线学习网 ∴OC⊥CE，
∵CE∥BD，
∴OC⊥BD，
学习啦在线学习网 ∴ = ，
∴∠BAC=∠CAD;
(2)解：如图②，连结OC交BD于E，
由(1)得OC⊥BD，则BE=DE，
∵AB为直径，
学习啦在线学习网 ∴∠D=90°，
∴BD= = =8，
学习啦在线学习网 ∴BE= BD=4，
学习啦在线学习网 在Rt△OBE中，OE= =3，
∵BE∥CE，
学习啦在线学习网 ∴△OBE∽△OCE，
∴ = ，即 = ，
∴CE= ;
(3)解：∵OE=3，OC=5，
∴CE=5﹣3=2，
∵ = ，
学习啦在线学习网 ∴∠CDB=∠CAB，
∵tan∠CBE= = = ，
∴tan∠CAB=tan∠CBE= ，
学习啦在线学习网 ∵tan∠CAB= ，
∴ = .
学习啦在线学习网 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
27.如图①，已知抛物线C1：y=a(x+1)2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1.
学习啦在线学习网 (1)求点C的坐标及a 的值;
(2)如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3.C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE于点F.
学习啦在线学习网 ①求线段PF长的最大值;
学习啦在线学习网 ②若PE=EF，求点P的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据二次函数的性质即可直接求得顶点C的坐标，把B的坐标代入函数解析式即可求得a的值;
(2)①C2的顶点坐标是C关于x轴的对称点，且二次项系数互为相反数，据此即可求得C2的解析式，然后根据平移的性质求得C3的解析式.利用待定系数法求得直线CE的解析式，则PF的长即可利用x表示出来，然后根据二次函数的性质求得PF的最大值;
②PE=EF则P和F关于x轴对称，即纵坐标互为相反数，据此即可列方程求解.
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)顶点C为(﹣1，﹣4).
学习啦在线学习网 ∵点B(1，0)在抛物线C1上，∴0=a(1+1)2﹣4，解得，a=1;
学习啦在线学习网 (2)①∵C2与C1关于x轴对称，
学习啦在线学习网 ∴抛物线C2的表达式为y=﹣(x+1)2+4，
抛物线C3由C2平移得到，
学习啦在线学习网 ∴抛物线C3为y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5，
∴E(5，0)，
学习啦在线学习网 设直线CE的解析式为：y=kx+b，
则 ，解得 ，
学习啦在线学习网 ∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，
学习啦在线学习网 设P(x，﹣x2+6x﹣5)，则F(x， x﹣ )，
∴PF=(﹣x2+6x﹣5)﹣( x﹣ )=﹣x2+ x﹣ =﹣(x﹣ )2+ ，
学习啦在线学习网 ∴当x= 时，PF有最大值为 ;
②若PE=EF，∵PF⊥x轴，
∴x轴平分PF，
∴﹣x2+6x﹣5=﹣ x+ ，
解得x1= ，x2=5(舍去)
∴P( ， ).
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，求函数最值问题常用的方法是转化为函数的性质问题.
看了“9年级数学上期末试卷”的人还看了：
9年级数学上期末试卷(2)
