2019九年级数学上册期中试卷
学习啦在线学习网 学习好数学是需要我们付出的，大家来做一下题吧，今天小编就给大家参考一下九年级数学，有喜欢的一起学习哦
九年级数学上册期中试卷
一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分)
学习啦在线学习网 1.(3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
学习啦在线学习网 2.(3分)下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. (3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
学习啦在线学习网 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
学习啦在线学习网 4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为( )
学习啦在线学习网 A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
5.(3分)S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )
A.1500(1+x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为( )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
7.(3分)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论错误的是( )
A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
学习啦在线学习网 C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为( )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
9.(3分)如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
学习啦在线学习网 ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
学习啦在线学习网 11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为 .
12.(3分)已知点(a，﹣1)与点(2，b)关于原点对称，则a+b= .
13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是 .
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过点P(3，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 .
学习啦在线学习网 15.(3分)把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米.把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图(2)，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F.则AD1= cm.
三、解答题(本大题共8小题，共75分)
16.(8分)解方程：
学习啦在线学习网 (1)4(x﹣5)2=36
学习啦在线学习网 (2)x2﹣ x+1=0.
学习啦在线学习网 17.(9分)已知关于x的一元二次方程：x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根;
(2)当t为何值时，二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
18.(9分)如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
学习啦在线学习网 19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)
学习啦在线学习网 (1)该抛物线的顶点坐标是
(2)求a的值;
(3)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m
20.(9分)如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长.
学习啦在线学习网 21.(10分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
学习啦在线学习网 (1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
22.(10分)(1)问题发现：
学习啦在线学习网 如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系： ;
(2)操作探究：
如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明;
学习啦在线学习网 (3)解决问题：
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是 度.
23.(11分)如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标;如果不存在，请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.(3分)下列方程中，是一元二次方程的是( )
学习啦在线学习网 A.2x+1=0 B.y2+x=0 C.x2﹣x=0 D. +x2=0
【解答】解：A、方程2x+1=0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程;故本选项错误;
学习啦在线学习网 B、y2+x=0中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误;
C、x2﹣x=0符合一元二次方程的定义;故本选项正确;
学习啦在线学习网 D、该方程是分式方程;故本选项错误;
故选：C.
学习啦在线学习网 2.(3分)下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
学习啦在线学习网 【解答】解：A图形不是中心对称图形;
学习啦在线学习网 B图形是中心对称图形;
C图形不是中心对称图形;
D图形不是中心对称图形，
故选：B.
学习啦在线学习网 3.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.只有一个实数根
学习啦在线学习网 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
学习啦在线学习网 【解答】解：∵△=a2+4>0，
学习啦在线学习网 ∴，方程有两个不相等的两个实数根.
故选：D.
4.(3分)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为( )
学习啦在线学习网 A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19
学习啦在线学习网 【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，
配方得：x2﹣6x+9=19，即(x﹣3)2=19，
故选：D.
学习啦在线学习网 5.(3分)S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元.设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是( )
A.1500(1 +x)2=980 B.980(1+x)2=1500 C.1500(1﹣x)2=980 D.980(1﹣x)2=1500
【解答】解：依题意得：第一次降价的售价为：1500(1﹣x)，
则第二次降价后的售价为：1500(1﹣x)(1﹣x)=1500(1﹣x)2，
∴1500(1﹣x)2=980.
故选：C.
学习啦在线学习网 6.(3分)抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为( )
A.y=3(x+3)2﹣2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x﹣3)2﹣2 D.y=3(x﹣3)2+2
【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位后顶点坐标为(3，2)，此时解析式为y=3(x﹣3)2+2.
故选：D.
7.(3分)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论错误的是( )
学习啦在线学习网 A.BD平分∠ABC B.AD∥BC
C.S△ABD=2S△BED D.△ABD是等边三角形
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
学习啦在线学习网 ∴△ABD是等边三角形，故D正确，
学习啦在线学习网 ∴∠DAB=60°，
学习啦在线学习网 ∴∠DAB=∠CBE，
学习啦在线学习网 ∴AD∥BC，故B正确;
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，
∴∠ABD=∠CBE=60°，
学习啦在线学习网 ∴∠DBC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠ABD=∠DBC，
学习啦在线学习网 即BD平分∠ABC，故A正确;
故选：C.
8.(3分)若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为( )
A.﹣2或3 B.﹣2或﹣3 C.1或﹣2或3 D.1或﹣2或﹣3
【解答】解：当m=1时，函数解析式为：y=﹣6x+ 是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点 ，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y=(m﹣1)x2﹣6x+ m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×(m﹣1)× m=0，
解得，m=﹣2或3，
故选：C.
9.(3分)如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
学习啦在线学习网 A.55° B.65° C.75° D.85°
学习啦在线学习网 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，
∴∠AB′B= (180°﹣110°)=35°，
学习啦在线学习网 ∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠ C′AB′=110°﹣35°=75°.
故选：C.
10.(3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.
其中正确的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
学习啦在线学习网 【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
学习啦在线学习网 ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
学习啦在线学习网 ∴b=﹣2a<0，
∴ab<0，所以①正确;
学习啦在线学习网 ∵抛物线与x轴有2个交点，
学习啦在线学习网 ∴△=b2﹣4ac>0，所以②正确;
学习啦在线学习网 ∵x=1时，y<0，
学习啦在线学习网 ∴a+b+c<0，
而c<0，
∴a+b+2c<0，所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
学习啦在线学习网 ∴b=﹣2a，
而x=﹣1时，y>0，即a﹣b+c>0，
∴a+2a+c>0，所以④错误.
故选：C.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.(3分)方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的根为 x=1或x= .
学习啦在线学习网 【解答】解：3x(x﹣1)=2(x﹣1)，
学习啦在线学习网 移项得：3x(x﹣1 )﹣2(x﹣1)=0，
即(x﹣1)(3x﹣2)=0，
学习啦在线学习网 ∴x﹣1=0，3x﹣2=0，
学习啦在线学习网 解方程得：x1=1，x2= .
学习啦在线学习网 故答案为：x=1或x= .
12.(3分)已知点(a，﹣1)与点(2，b)关于原点对称，则a+b= ﹣1 .
学习啦在线学习网 【解答】解：∵点(a，﹣1)与点(2，b)关于原点对称，
∴a=﹣2，b=1，
学习啦在线学习网 ∴a+b=﹣1，
故答案为：﹣1.
学习啦在线学习网 13.(3分)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是 0 .
【解答】解：由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，
把x=0代入方程，得k2﹣k=0，
学习啦在线学习网 解得，k1=1，k2=0
学习啦在线学习网 当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，
方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于 x的二次方程，故k≠1.
学习啦在线学习网 所以k的值是0.
故答案为：0
14.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过点P(3，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (﹣1，0) .
学习啦在线学习网 【解答】解：由于函数对称轴为x=1，而P(3，0)位于x轴上，
学习啦在线学习网 则设与x轴另一交点坐标为(m，0)，
根据题意得： =1，
解得m=﹣1，
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1，0)，
学习啦在线学习网 故答案是：(﹣1，0).
15.(3分)把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6厘米，DC=7厘米.把三角板DCE 绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图(2)，这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F.则AD1= 5 cm.
学习啦在线学习网 【解答】解：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°.
学习啦在线学习网 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°.
学习啦在线学习网 ∴∠AOC=180°﹣∠ACO﹣∠CAO=90°.
在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=3 .
同理可求得：AO=OC=3.
在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1﹣OC=4，
由勾股定理得：AD1=5.
学习啦在线学习网 三、解答题(本大题共8小题，共75分)
学习啦在线学习网 16.(8分)解方程：
(1)4(x﹣5)2=36
(2)x2﹣ x+1=0.
【解答】解：(1)开方得：2(x﹣5)=6或2(x﹣5)=﹣6，
解得：x1=8，x2=2;
(2)这里a=1，b=﹣ ，c=1，
∵△=10﹣4=6，
∴x= .
17.(9分)已知关于x的一元二次方程：x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0.
(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根;
学习啦在线学习网 (2)当t为何值时，二次函数y=x2﹣(t﹣1)x+t﹣2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数?请说明理由.
【解答】解：(1)证明：在方程x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0中，△=[﹣(t﹣1)]2﹣4×1×(t﹣2)=t2﹣6t+9=(t﹣3)2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根;
学习啦在线学习网 (2)解：令y=0，得到x2﹣(t﹣1)x+t﹣2=0
学习啦在线学习网 设方程的两根分别为m、n，
学习啦在线学习网 由题意可知，方程的两个根互为相反数，
学习啦在线学习网 ∴m+n=t﹣1=0，
解得：t=1.
学习啦在线学习网 ∴当t=1时，方程的两个根互为相反数.
18.(9分)如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形.
【解答】解：(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示;
19.(9分)已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)
(1)该抛物线的顶点坐标是 (3，2)
(2)求a的值;
(3)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)∵y=a(x﹣3)2+2，
∴ 该抛物线的顶点坐标是(3，2)，
学习啦在线学习网 故答案为：(3，2);
学习啦在线学习网 (2)∵y=a(x﹣3)2+2经过点(1，﹣2)，
∴﹣2=a(1﹣3)2+2，
解得，a=﹣1，
学习啦在线学习网 即a的值是﹣1;
学习啦在线学习网 (3))∵y=a(x﹣3)2+2，a=﹣1，
∴该抛物线的图象在x<3时，y随x的增大而增大，在x>3时，y随x的增大而减小，
∵点A(m，y1)、B(n，y2)(m
∴y1
20.(9分)如图，四边形ABCD，AB=3，AC=2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与AD的长.
【解答】解：∵点A、C、E在一 条直线上，
而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°
学习啦在线学习网 ∴△ADE为等边三角形，
∴∠E=60°，AD=AE，
学习啦在线学习网 ∴∠BAD=60°，
∵点A、C、E在一条直线上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
学习啦在线学习网 ∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
学习啦在线学习网 ∴AD=AE=5.
学习啦在线学习网 21.(10分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少?
(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;
(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润=(70﹣50)×[50+5×(100﹣70)]=4000元;
(2)由题得 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500(x≥50).
学习啦在线学习网 ∵销售单价不得低于成本，
∴50≤x≤100.
(3)∵该企业每天的总成本不超过7000元
学习啦在线学习网 ∴50×[50 +5(100﹣x)]≤7000(8分)
学习啦在线学习网 解得x≥82.
由(2)可知 y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=﹣5x2+800x﹣27500
学习啦在线学习网 ∵抛物线的对称轴为x=80且a=﹣5<0
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小.
学习啦在线学习网 ∴当x=82时，y有最大，最大值=4480，
即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元.
学习啦在线学习网 22.(10分)(1)问题发现：
如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量与位置关系是关系： BE=CD，BE⊥CD ;
学习啦在线学习网 (2)操作探究：
学习啦在线学习网 如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，(1)小题中线段BE与线段CD的关系是否成立?如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明;
(3)解决问题：
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，若DE=2AC，在旋转的过程中，当以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形时， 在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是 45°或225°或315 度.
【解答】解：(1)∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，BE⊥CD，
∴AE﹣AB=AD﹣AC，
∴BE=CD;
故答案为：BE=CD，BE⊥CD;
学习啦在线学习网 (2)(1)结论成立，
理由：如图，
学习啦在线学习网 ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
学习啦在线学习网 由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE与△CAD中， ，
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴BE=CD;∠AEB=∠ADC，
∴∠BED+∠EDF= ∠AED+∠AEB+∠EDF=∠AED+∠ADC+∠EDF=∠AED+∠ADE=90°，
学习啦在线学习网 ∴∠EFD=90°，
即：BE⊥CD
(3)如图，
学习啦在线学习网 ∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
学习啦在线学习网 ∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
学习啦在线学习网 或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°
∴角α的度数是45°或225°或315°.
故答案为：45°或225°或315.
23.(11分)如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).
学习啦在线学习网 (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出P点的坐标;如果不存在，请说明理由;
学习啦在线学习网 (3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
学习啦在线学习网 【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ，c=2，
学习啦在线学习网 ∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2.
(2)存在.如图1中， ∵C(0，2)，D( ，0)，
学习啦在线学习网 ∴OC=2，OD= ，CD= =
①当CP=CD时，可得P1( ，4).
学习啦在线学习网 ②当DC=DP时，可得P2( ， )，P3( ，﹣ )
学习啦在线学习网 综上所述，满足条件的P点的坐标为 或 或 .
学习啦在线学习网 (3)如图2中，
学习啦在线学习网 对于抛物线y=﹣ x2+ x+2，当y=0时，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1
学习啦在线学习网 ∴B(4，0)，A(﹣1，0)，
学习啦在线学习网 由B(4，0)，C(0，2)得直线BC的解析式为y=﹣ x+2，
设E 则F ，
EF= ﹣ =
∴ <0，∴当m=2时，EF有最大值2，
此时E是BC中点，
∴当E运动到BC的中点时，△FBC面积最大，
∴△FBC最大面积= ×4×EF= ×4×2=4，此时E(2，1).
秋九年级数学调研试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1.要使代数式2-3x有意义，则x的( )
学习啦在线学习网 A.最大值是23 B.最小值是23
C.最大值是32 D.最小值是32
2.若12+y=27，则y的值为( )
学习啦在线学习网 A.8 B.15 C.3 D.2
3.如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和D、E、F.若ABBC=23，DE=4，则EF的长是( )
A.83 B.203 C.6 D.10
第3题图
学习啦在线学习网 4.方程x-2=x(x-2)的解为( )
A.x=0 B.x1=0，x2=2
C.x=2 D.x1=1，x2=2
学习啦在线学习网 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共同签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为( )
学习啦在线学习网 A.12x(x+1)=45 B.12x(x-1)=45
C.x(x+1)=45 D.x(x-1)=45
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是( )
A.m=5 B.m=45 C.m=35 D.m=10
第6题图
学习啦在线学习网 7.若方程x2+x-1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是( )
学习啦在线学习网 A.α+β=1 B.αβ=1 C.α2+β2=2 D.1α+1β=1
8.如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为( )
学习啦在线学习网 A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
学习啦在线学习网 二、填空题(每小题3分，共30分)
学习啦在线学习网 9.方程x2-2x-2=0的解是 .
10.如图，在Rt△ABC中，AB=12，AC=5，∠A=90°，D、E分别为AB、AC的中点，则DE= .
第10题图
11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC和△A′B′C′的相似比等于12，则点A′的坐标为 .
第11题图
学习啦在线学习网 12.若关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
13.已知x、y为实数，且y=x2-9-9-x2+4，则x-y= .
14.如果|a|+a=0，则(a-1)2+a2=
15.若关于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab= .
学习啦在线学习网 16.如图，在△ABC中，P为AB上一点，有下列四个条件：①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB.其中能判定△APC和△ACB相似的条件是
(填序号).
第16题图
17.一个QQ群里共有若干个好友，如果每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，则这个QQ群里有 个好友.
18.如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=2，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是 .
学习啦在线学习网 三、解答题(共66分)
19.(6分)计算：
学习啦在线学习网 (1)(212-418+348)×52;
(2)18-22-82+(5-1)0.
20.(6分)解下列方程：
学习啦在线学习网 (1)(x+3)(x-1)=4x-4;
(2)2x2-20x+25=0.
学习啦在线学习网 21.(6分)先化简，再求值：a2-2ab+b22a-2b÷1b-1a，其中a=5+1，b=5-1.
22.(10分)已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根，求m的范围;
(2)设方程两实根为x1，x2，且|x1-x2|=1，求m.
23.(8分)某超市在销售中发现：“熊出没”童装平均每天可售出20套，每套盈利40元，为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每套降价4元，那么平均每天就可多售出8套.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每套应降价多少?
24.(8分)如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).
学习啦在线学习网 25.(10分)已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.
(1)求证：AEAC=EGCG;
(2)如果CF2=FG•FB，求证：CG•CE=BC•DE.
学习啦在线学习网 26.(12分)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题.
学习啦在线学习网 (1)如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF=EG;
(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF=EG(填“=”或“≠”);(6分)
学习啦在线学习网 (3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB=4，DG=3，求EFEG的值.
期中检测卷
学习啦在线学习网 1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.D
9.x1=1+3，x2=1-3 10.6.5 11.(4，6)
12.a>-94且a≠0 13.-1或-7
14.1-2a 15.4 16.①②③ 17.30
18.(1，2-1)或(-2，2) 解析：∵OB=BC，BE⊥OC，AC⊥AB，∠CBO=45°，∴∠CBE=∠OBE=22.5°，AC=AB=2，∴BC=2，OA=2-2.∵BE为OC的垂直平分线，∴CD=OD，∴∠OCD=∠COD，∴∠ACB=∠DOA=45°，∴OA=AD=2-2.(1)如图①，过M作MF⊥BC，MG⊥AB.∵△CBM∽△COD，CD=OD，∴BM=CM，∴BF=CF=1.∵BE平分∠CBO，∴MG=MF，∴BG=BF=1，∴OG=OB-BG=1，∴MGAD=BGAB，即MG2-2=12，∴MG=2-1，故点M的坐标为(1，2-1);
学习啦在线学习网 (2)如图②，△BCM∽△CDO时，过M作MP⊥AB于点P，连接OM，由(1)得CD=OD.又∵△BCM∽△CDO，∴BC=CM.又∵BE垂直平分CO，∴BC=CM=MO=OB，∴四边形MOBC为菱形，∴CM∥AB，∴AC=PM=2，∠MOP=2∠MBO=45°，∴OP=MP=2，∴点M的坐标为(-2，2).
学习啦在线学习网 综上所述，点M的坐标是(1，2-1)或(-2，2).
19.解：(1)原式=806-10;(3分)
学习啦在线学习网 (2)原式=2+1.(6分)
20.解：(1)x1=x2=1;(3分)
学习啦在线学习网 (2)x1=10+522，x2=10-522.(6分)
21.解：原式=(a-b)22(a-b)×aba-b=ab2，(2分)∵a=5+1，b=5-1，∴原式=ab2=(5+1)(5-1)2=2.(6分)
学习啦在线学习网 22.解：(1)依题意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0，m≠0，解得m>0;(4分)
(2)由题意得x1+x2=2，x1•x2=m-2m，(6分)|x1-x2|=1，∴(x1-x2)2=1，∴(x1+x2)2-4x1x2=4-4m-8m=1，(9分)∴m=8.(10分)
23.解：设每套应降价x元，则依题意得(40-x)(20+2x)=1200，(2分)整理，得x2-30x+200=0，(4分)解得x1=10，x2=20.(6分)因要尽量减少库存，故x应取20.(7分)
答：每套应降价20元.(8分)
学习啦在线学习网 24.解：根据题意得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.∴△ABE∽△CDE，∴CDAB=DEDE+BD①.(2分)同理，FGAB=HGHG+GD+BD②.(4分)又CD=FG=1.7米，由①、②可得DEDE+BD=HGHG+GD+BD，即33+BD=510+BD，解得BD=7.5.(6分)将BD=7.5代入①得AB=5.95≈6.0(米).(7分)
学习啦在线学习网 答：路灯杆AB的高度约为6.0米.(8分)
25.解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG.又∵DE=EF，∴DEBC=EFBC，∴AEAC=EGCG;(4分)
(2)∵CF2=FG•FB，∴CFFG=FBCF.又∠BFC=∠CFG，∴△BCF∽△CGF，∴FGFC=CGBC，∠FCE=∠CBF.(6分)又∵DF∥BC，∴∠EFG=∠CBF，∴∠FCE=∠EFG.又∵∠FEG=∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴EFEC=FGFC.(8分)又∵EF=DE，FGFC=CGBC，∴CGBC=DEEC，即CG•CE=BC•DE.(10分)
26.(1)证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，∴∠AEG=∠CEF.又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，∴△EAG≌△ECF(ASA)，∴EG=EF;(4分)
(2)解：=(6分)
学习啦在线学习网 (3)解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，(7分)则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，∴EMAD=BEBD=ENCD，∴EMEN=ADCD=34.(9分)∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，∴∠FEN=∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，则EFEG=ENEM=43.(12分)
关于九年级数学上学期期中模拟试卷
一.选择题(共6小题，满分18分，每小题3分)
学习啦在线学习网 1.(3分)点A(a，3)与点B(﹣4，b)关于原点对称，则a+b=( )
A.﹣ 1 B.4 C.﹣4 D.1
2.(3分)下列交通标志图案中，是中心对称图形的是( )
学习啦在线学习网 A. B. C. D.
学习啦在线学习网 3.(3分)下列方程中是一元二次方程的是( )
A.xy+2=1 B. C.x2=0 D.ax2+bx+c=0
4.(3分)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则 a的值为( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
5.(3分)已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为( )
学习啦在线学习网 A.(﹣1，0) B.(4，0) C.(5，0) D.(﹣6，0)
学习啦在线学习网 6.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是( )
学习啦在线学习网 A.(1，1) B.(﹣1，1) C.(﹣1，﹣1) D.(1，﹣1)
二.填空题(共8小题，满分24分，每小题3分)
学习啦在线学习网 7.(3分)已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则3m2﹣3m﹣3的值为 .
8.(3分)关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
学习啦在线学习网 9.(3分)若关于x的一元二次方程 x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则(m﹣2)2﹣2m(m﹣1)的值为 .
学习啦在线学习网 10.(3分)二次函数y=mx2﹣2x+1，当x 时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 .
11.(3分)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c= .
学习啦在线学习网 12.(3分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为( ，1)，将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为 .
13.(3分)图中，甲图怎样变成乙图： .
学习啦在线学习网 14.(3分)若抛物线y =2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则 定点坐标为 .
三.解答题(共3小题，满分18分，每小题6分)
15.(6分)用配方法解方程：x2﹣7x+5=0.
学习啦在线学习网 16.(6分)用公式法解下列方程：
(1)2x2﹣3x﹣5=0
(2)y2﹣3y+1=0.
17.(6分)关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2+1=0.
(1)若m是方程的一个实数根，求m的值;
学习啦在线学习网 (2)若m为负数，判断方程根的情况.
学习啦在线学习网 四.解答题(共2小题，满分16分，每小题8分)
18.(8分)将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式?
19.(8分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
学习啦在线学习网 (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内?
五.解答题(共2小题，满分20分，每小题10分)
学习啦在线学习网 20.(10分)如图，已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上任意一点，△ABE接逆 时针方向旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，且AF=4，AB=7.
学习啦在线学习网 (1)请指出旋转中心和旋转角度;
(2)求BE的长;
学习啦在线学习网 (3)试猜测BG与DF的位置关系，并说明理由.
学习啦在线学习网 21.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM.点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动.
学习啦在线学习网 (1)几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半?
(2)连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形?
学习啦在线学习网 六.解答题(共2小题，满分24分，每小题12分)
学习啦在线学习网 22.(12分)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台;每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;
学习啦在线学习网 (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元?
学习啦在线学习网 23.(12分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
学习啦在线学习网 (2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标;
学习啦在线学习网 (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC?如果存在，求出点M的坐标;如果不存在，请说明理由.
参考答案
1.D.
2.C.
3.C.
4.B.
5.B.
6.A.
7.3.
学习啦在线学习网 8.k<1.
9.
10.0
11.1.
学习啦在线学习网 12.(﹣1， ).
13.绕点A顺时针旋转.
14.(4，33).
15.解：x2﹣7x+5=0，
学习啦在线学习网 x2﹣7x=﹣5，
x2﹣7x+( )2=﹣5+( )2，
(x﹣ )2= ，
学习啦在线学习网 x﹣ =± ，
x•= ，x 2= .
16.解：(1)由题意可知：a=2，b=﹣3，c=﹣5，
∴△=9﹣4×2×(﹣5)=49
∴x=
∴x= 或x=﹣1
(2)由题意可知：a=1，b=﹣3，c=1，
学习啦在线学习网 ∴△=9﹣4×1×(﹣1)=13
学习啦在线学习网 ∴y=
17.解：
(1)∵m是方程的一个实数根，
学习啦在线学习网 ∴m2﹣(2m﹣3)m+m2+1=0，
学习啦在线学习网 ∴ ;
(2)△=b2﹣4ac=﹣12m+5，
∵m<0，
学习啦在线学习网 ∴﹣12m>0.
∴△=﹣12m+5>0.
学习啦在线学习网 ∴此方程有两个不相等的实数根.
18.解：y=﹣x2﹣2x﹣3，
学习啦在线学习网 =﹣(x2+2x+1)+1﹣3，
学习啦在线学习网 =﹣(x+1)2﹣2，
所以，抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣2)，
∵向右平移三个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2，﹣2)，
∵再绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为(﹣2，2)，
学习啦在线学习网 ∴所得抛物线解析式为y=(x+2)2+2.
学习啦在线学习网 19.解：(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]
学习啦在线学习网 =(x﹣50)(﹣5x+550)
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);
(2)y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5(x﹣80)2+4500，
∵a=﹣5<0，
∴抛物线开口向下.
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
学习啦在线学习网 ∴当x=80时，y最大值=4500;
(3)当y=4000时，﹣5(x﹣80)2+4500=4000，
学习啦在线学习网 解得x1=70，x2=90.
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元.
20.解：(1)旋转中心A点，旋转角度是90°.
(2)∵△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，
学习啦在线学习网 ∴△ABE≌△ADF，
∴AF=AE=4，
∵四边形ABCD为正方形，
学习啦在线学习网 ∴∠BAE=90°，
由勾股定理得：BE= = = ，
学习啦在线学习网 答：BE的长是 .
学习啦在线学习网 (3)BG与DF的位置关系是垂直，
理由是：∵△ABE≌△ADF，
∴∠EBA=∠ADF，
学习啦在线学习网 ∵∠EBA+∠AEB=180°﹣90°=90°，
学习啦在线学习网 ∵∠AEB=∠DEG，
∴∠DEG+∠ADF=90°，
学习啦在线学习网 ∴∠DGE=180°﹣(∠DEG+∠ADF)=90°，
∴BG⊥DF.
21.解：(1)设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
当0
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24，
即： ×(8﹣x)×(6﹣x)= ×24，
x2﹣14x+24=0，
(x﹣2)(x﹣12)=0，
x1=12(舍去)，x2=2;
当6
学习啦在线学习网 ×(8﹣x)×(x﹣6)= ×24，
学习啦在线学习网 x2﹣14x+72=0，
b2﹣4ac=196﹣288=﹣92<0，
∴此方程无实数根，
学习啦在线学习网 当x>8时，
S△ABC= ×AC•BC= ×6×8=24，
学习啦在线学习网 即： ×(x﹣8)×(x﹣6)= ×24，
学习啦在线学习网 x2﹣14x+24=0，
(x﹣2)(x﹣12)=0，
x1=12，x2=2(舍去)，
学习啦在线学习网 所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.
(2)设t秒后△BPQ是等腰三角形，
①当BP=BQ时，t2=62+(8﹣t)2，
解得：t= ;
②当PQ=BQ时，(6﹣t)2+(8﹣t)2=62+(8﹣t)2，
学习啦在线学习网 解得：t=12;
③当BP=PQ时，t2=(6﹣t)2+(8﹣t)2，
解得：t=14±4 .
学习啦在线学习网 22.解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
学习啦在线学习网 将(40，600)、(45，550)代入y=kx+b，得：
，解得： ，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.
学习啦在线学习网 (2)设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为 (x﹣30)万元，销售数量为(﹣10x+1000)台，
学习啦在线学习网 根据题意得：(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80.
学习啦在线学习网 ∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50.
答：该设备的销售单价应是50万元/台.
学习啦在线学习网 23.解：(1)∵OA=1，OB=3，
∴A(﹣1，0)，B( 3，0).
代入y=﹣x2+bx+c，得
学习啦在线学习网 解得 b=2，c=3.
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3;
(2)如图，设直线CD切⊙P于点E.连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F.
∴PE⊥CD，PE=PA.
学习啦在线学习网 由y=﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x=1，C(0，3)、D(1，4).
∴DF=4﹣3=1，CF=1，
学习啦在线学习网 ∴DF=CF，
∴△DCF为等腰直角三角形.
∴∠CDF=45°，
∴∠EDP=∠EPD=45°，
∴DE=EP，
学习啦在线学习网 ∴△DEP为等 腰三角形.
设P(1，m)，
∴EP2= (4﹣m)2.
在△APQ中，∠PQA=90°，
∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣(﹣1)]2+m2
∴ (4﹣m)2=[1﹣(﹣1)]2+m2.
学习啦在线学习网 整理，得m2+8m﹣8=0
解得，m=﹣4±2 .
∴点P的坐标为(1，﹣4+2 )或(1，﹣4﹣2 ).
(3)存在点M，使得△DCM∽△BQC.
如图，连结CQ、CB、CM，
∵C(0，3)，OB=3，∠COB=90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
学习啦在线学习网 ∴∠CBQ=45°，BC=3 .
由(2)可知，∠CDM=45°，CD= ，
∴ ∠CBQ=∠CDM.
学习啦在线学习网 ∴△DCM∽△BQC分两种情况.
当 = 时，
学习啦在线学习网 ∴ = ，解得 DM= .
学习啦在线学习网 ∴QM=DQ﹣DM=4﹣ = .
∴M1(1， ).
当 时，
学习啦在线学习网 ∴ = ，解得 DM=3.
学习啦在线学习网 ∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1.
学习啦在线学习网 ∴M2(1，1).
综上，点M的坐标为(1， )或(1，1).
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