数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式

学习啦在线学习网 　　归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来学习啦小编为你整理了数学归纳法证明不等式，一起来看看吧。

　　数学归纳法证明不等式的基本知识

　　数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围

　　(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的

　　例如一个数列的通项公式是an(n25n5)2

　　容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是错误的.

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　　因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.

学习啦在线学习网 　　(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.

学习啦在线学习网 　　一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;

学习啦在线学习网 　　(2)假设当n=k(kN，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.

　　自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.

学习啦在线学习网 　　附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.

　　任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：

　　①1是一个自然数;

学习啦在线学习网 　　②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;

学习啦在线学习网 　　③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;

学习啦在线学习网 　　④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;

　　⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.

学习啦在线学习网 　　其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.

　　(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.

　　例如用数学归纳法证明(1+1)n(n N)的单调性就难以实现.一般来说，n

　　从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.

　　数学归纳法证明不等式例题