什么是对称矩阵有哪些特性
对称矩阵是元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。那么你对对称矩阵了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是对称矩阵的内容，希望大家喜欢!
什么是对称矩阵
学习啦在线学习网 元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
对称矩阵的特性
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
学习啦在线学习网 用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈ ，( A(x) , Y )=( X, A(Y))。 【1】
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域(例如实数)，可以用刚好一种方法学习啦在线学习网写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)
学习啦在线学习网 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.
学习啦在线学习网 n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V(R)的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
学习啦在线学习网 所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有(σ(α)，β)=(α，σ(β))。投影变换和镜像变换都是对称变换。
数据结构中的对称矩阵
1.对称矩阵
(1)对称矩阵
学习啦在线学习网 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：
aij=aji0≤i，j≤n-1
则称A为对称矩阵。
(2)对称矩阵的压缩存储
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素
即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0..n(n+1)/2-1]中(下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2)。
其中：
sa[0]=a00,
学习啦在线学习网 sa[1]=a10,
学习啦在线学习网 ……，
学习啦在线学习网 sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
学习啦在线学习网 ②元素aij的存放位置
aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：
学习啦在线学习网 1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素;
在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ai1，…，ai,j-1)，因此有：
sa[i×(i+1)/2+j]=aij
③aij和sa[k]之间的对应关系：
学习啦在线学习网 若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2
学习啦在线学习网 令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：
k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
(3)对称矩阵的地址计算公式
LOC(aij)=LOC(sa[k])
学习啦在线学习网 =LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d
通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
学习啦在线学习网 【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为
k=I×(I+1)/2+J=2×(2+1)/2+1=4
看过“对称矩阵的特性“的人还看了：
3.大学数学毕业论文