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什么是旋转矩阵有着怎样的性质

时间: 谢君787 分享

什么是旋转矩阵有着怎样的性质

  旋转矩阵解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。那么你对旋转矩阵了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是旋转矩阵的内容,希望大家喜欢!

  什么是旋转矩阵

  旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的,它可以帮助您锁定喜爱的号码,提高中奖的机会。首先您要先选一些号码,然后,运用某一种旋转矩阵,将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样,您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵,可以最小的成本获得最大的收益,且远远小于复式投注的成本。

  旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计:覆盖设计。而覆盖设计,填装设计,斯坦纳系,t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。其最古老的数学命题是寇克曼女生问题:

学习啦在线学习网   某教员打算这样安排她班上的十五名女生散步:散步时三女生为一组,共五组。问能否在一周内每日安排一次散步,使得每两名女生在一周内一道散步恰好一次?寇克曼于1847年提出了该问题,过了100多年后,对于一般形式的寇克曼问题的存在性才彻底解决。用1~15这15个数字分别代表15个女生,其中的一组符合要求的分组方法是:

学习啦在线学习网   星期日:(1,2,3),(4,8,12),(5,10,15),(6,11,13),(7,9,14)

  星期一:(1,4,5),(2,8,10),(3,13,14),(6,9,15),(7,11,12)

  星期二:(1,6,7),(2,9,11),(3,12,15),(4,10,14),(5,8,13)

  星期三:(1,8,9),(2,12,14),(3,5,6),(4,11,15),(7,10,13)

学习啦在线学习网   星期四:(1,10,11),(2,13,15),(3,4,7),(5,9,12),(6,8,14)

学习啦在线学习网   星期五:(1,12,13),(2,4,6),(3,9,10),(5,11,14),(7,8,15)

学习啦在线学习网   星期六:(1,14,15),(2,5,7),(3,8,11),(4,9,13),(6,10,12)

  旋转矩阵的性质

  设是任何维的一般旋转矩阵:

  两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的 是单位矩阵。 一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是 ±1;如果行列式是 −1,则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 旋转矩阵是正交矩阵,如果它的列向量形成 的一个正交基,就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。 任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的。A 矩阵叫做旋转的“生成元”。旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数,它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。

  旋转矩阵的二维空间

  在二维空间中,旋转可以用一个单一的角 θ 定义。作为约定,正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转θ 的矩阵是:

  该矩阵的逆矩阵为:

  表示较原来反方向旋转θ ,也即顺时针旋转θ

  顺时针旋转就直接计算-θ 即可。

  旋转矩阵的三维空间

学习啦在线学习网   在三维空间中,旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ,则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ),这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

  3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵,得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵。

  生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转,它们的生成元很容易表达。

学习啦在线学习网   绕 x-轴的旋转定义为: 这里的 θx 是 roll 角。 绕 y-轴的旋转定义为: 这里的 θy 是 pitch 角。 绕 z-轴的旋转定义为: 这里的 θz 是 yaw 角。

学习啦在线学习网   在飞行动力学中,roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ, α, 和 β;但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx, θy 和 θz。

学习啦在线学习网   任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx, θy, 和 θz 来刻画,并且可以表示为 roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。

  是在 中的旋转矩阵 在 中所有旋转的集合,加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。更高维的情况可参见 Givens旋转。

学习啦在线学习网   角-轴表示和四元数表示

  在三维中,旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向 来定义。

学习啦在线学习网   这个旋转可以简单的以生成元来表达:

  在运算于向量 r 上的时候,这等价于Rodrigues旋转公式:

学习啦在线学习网   角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角,四元数可以给出为正规化四元数 Q:

学习啦在线学习网   这里的 i, j 和 k 是 Q 的三个虚部。

  欧拉角表示(Euler角)

学习啦在线学习网   在三维空间中,旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义。有一些可能的欧拉角定义,每个都可以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角,在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:

  进行乘法运算生成:

  因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转,它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。

  对称保持 SVD 表示

学习啦在线学习网   对旋转轴 q 和旋转角 θ,旋转矩阵

  这里的 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是 θ 度 Givens 旋转。
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