培养逆向思维提高解题效率
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李泗敏1由 分享
逆向思维也叫求异思维，它与常规思维不同，逆向思维是反过来思考问题，是用绝大多数人没有想到的思维方式去思考问题．运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”．人们常常习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法．其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举．
逆向思维作为一种重要的思维方式 ,历来受到人们的广泛重视 , 它在数学教学中的作用十分重要 ,它是当前素质教育中不可忽视的内容之一．在数学教学中 ,加强逆向思维的训练和培养 ,可以提高学生的解题效率,增强学生的创新意识．课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力．迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志．因此，我们在数学教学中要结合教学实际，有意识地加强逆向思维的训练，引导和培养学生的逆向思维意识和习惯．我就初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力谈谈自己的看法．
充分利用教材所提供的素材 ,培养学生逆向思维的意识和自觉性．数学中的许多概念存在着互逆关系 ,例如正负数的概念 ,指数与对数的概念等 ,还有许多的公式、法则、定理等都存在着互逆关系 ,这些都是培养学生逆向思维的好素材．因此 ,在概念、法则、定理等教学中 ,要根据教材本身所提供的潜在的可逆性 ,从正反、顺逆两方面去进行分析、比较 ,使学生深刻理解有关定义和法则 ,掌握其本质特征．同时 ,还要精选一些习题 ,有意识地加强逆向思维的训练．这样 ,非常有利于培养学生逆向思维的意识 ,以及解决问题的思维方法．重点从几个方面去说
一、在概念教学中注意培养学生逆向思维
数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式、法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．例如：讲述：“同类二次根式”时明确“化成最简二次根式后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式”．反过来，若两个二次根式是同类二次根式，则必须在化成最简二次根式后被开方数相同．例如：“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互为余角（正向思维）．∵∠A、∠B互为余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思维）．使学生把握住“互为余角”的实质：⑴∠A与∠B“互为余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定义规定是“两个角”，而不是一个角，也不是两个以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互为余角”等说法都是错误的；⑶“互为余角”是两个角之间的 “数量关系”，它与两个角的位置无关．准确地掌握概念是学好数学的首要环节．当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练．
二、重视公式、法则的逆运用
公式从左到右及从右到左，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子，可以给学生一个完整的印象，开阔思维空间．在代数中公式的逆向应用比比皆是．如多项式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底数幂的运算法则的逆用可轻而易举地帮助我们解答一些问题，如：计算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，这组题目若正向思考不但繁琐复杂，甚至解答不了，灵活逆用所学的幂的运算法则，则会出奇制胜．故逆向思维可充分发挥学生的思考能力，提高解题效率，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣．
三、加强逆定理的教学
每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理．逆命题是寻找新定理的重要途径．在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理．如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理与逆定理等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求证△ABC是直角三角形．
分析 已知三边,欲证△ABC是直角三角形,可考虑用勾股定理的逆定理
证明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例题教学中培养逆向思维
学生在解题时往往习惯于正向使用定律、法则、公式，因此容易形成消极的思维定势，从而使解题的思维受阻．我在讲解定律、法则、分式时，除安排正向应用的例题外，也常适当安排一些逆向思维的范例．
如几何中的反证法，以及在应用题教学中，指导学生用“分析法”分析问题，用综合法解答问题也是逆向思维在教学中的应用等等．教师要培养学生的逆向思维，必须把握教材，注意发挥这方面范例的作用．
另外，教师可以根据实际情况，在学生学有余力的情况下，适当补充一些逆向思维的范例．通过教材和自己补充的一些范例的学习，学生的逆向思维便会潜移默化地受到熏陶，同时也提高了学生分析问题、解决问题的能力．
五、多用“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维
“逆向变式”即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型．例如：不解方程，请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况．可变式为：已知关于x的方程2x2-6x+k=0，当K取何值时，方程有两个不相等的实数根？经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练，创设问题情境，对逆向思维的形成起着很大作用．
逆向思维的培养、训练也是一个持久的过程．我在安排练习时，总是精心设计好练习题，要为学生提供逆向思维的材料，设法通过不同层次的练习题对学生进行逆向思维训练．另外，还要多鼓励学生突破常规的思维方式，敢于想象，敢于标新立异．这些练习都活跃了学生的思维，有效地训练了学生的逆向思维．
总之，培养学生的逆向思维能力，不仅提高了学生解题效率，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质．
逆向思维作为一种重要的思维方式 ,历来受到人们的广泛重视 , 它在数学教学中的作用十分重要 ,它是当前素质教育中不可忽视的内容之一．在数学教学中 ,加强逆向思维的训练和培养 ,可以提高学生的解题效率,增强学生的创新意识．课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，加强逆向思维的训练，可改变其思维结构，培养思维灵活性、深刻性和双向能力，提高分析问题和解决问题的能力．迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力，正是数学能力增强的一种标志．因此，我们在数学教学中要结合教学实际，有意识地加强逆向思维的训练，引导和培养学生的逆向思维意识和习惯．我就初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力谈谈自己的看法．
充分利用教材所提供的素材 ,培养学生逆向思维的意识和自觉性．数学中的许多概念存在着互逆关系 ,例如正负数的概念 ,指数与对数的概念等 ,还有许多的公式、法则、定理等都存在着互逆关系 ,这些都是培养学生逆向思维的好素材．因此 ,在概念、法则、定理等教学中 ,要根据教材本身所提供的潜在的可逆性 ,从正反、顺逆两方面去进行分析、比较 ,使学生深刻理解有关定义和法则 ,掌握其本质特征．同时 ,还要精选一些习题 ,有意识地加强逆向思维的训练．这样 ,非常有利于培养学生逆向思维的意识 ,以及解决问题的思维方法．重点从几个方面去说
一、在概念教学中注意培养学生逆向思维
数学概念、定义总是双向的，我们在平时的教学中，只秉承了从左到右的运用，于是形成了定性思维，对于逆用公式、法则等很不习惯．因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展．例如：讲述：“同类二次根式”时明确“化成最简二次根式后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式”．反过来，若两个二次根式是同类二次根式，则必须在化成最简二次根式后被开方数相同．例如：“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互为余角（正向思维）．∵∠A、∠B互为余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思维）．使学生把握住“互为余角”的实质：⑴∠A与∠B“互为余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定义规定是“两个角”，而不是一个角，也不是两个以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互为余角”等说法都是错误的；⑶“互为余角”是两个角之间的 “数量关系”，它与两个角的位置无关．准确地掌握概念是学好数学的首要环节．当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练．
二、重视公式、法则的逆运用
公式从左到右及从右到左，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的能力的体现．因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子，可以给学生一个完整的印象，开阔思维空间．在代数中公式的逆向应用比比皆是．如多项式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底数幂的运算法则的逆用可轻而易举地帮助我们解答一些问题，如：计算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，这组题目若正向思考不但繁琐复杂，甚至解答不了，灵活逆用所学的幂的运算法则，则会出奇制胜．故逆向思维可充分发挥学生的思考能力，提高解题效率，也可大大刺激学生学习数学的主观能动性与探索数学奥秘的兴趣．
三、加强逆定理的教学
每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理．逆命题是寻找新定理的重要途径．在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理．如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理与逆定理等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求证△ABC是直角三角形．
分析 已知三边,欲证△ABC是直角三角形,可考虑用勾股定理的逆定理
证明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例题教学中培养逆向思维
学生在解题时往往习惯于正向使用定律、法则、公式，因此容易形成消极的思维定势，从而使解题的思维受阻．我在讲解定律、法则、分式时，除安排正向应用的例题外，也常适当安排一些逆向思维的范例．
如几何中的反证法，以及在应用题教学中，指导学生用“分析法”分析问题，用综合法解答问题也是逆向思维在教学中的应用等等．教师要培养学生的逆向思维，必须把握教材，注意发挥这方面范例的作用．
另外，教师可以根据实际情况，在学生学有余力的情况下，适当补充一些逆向思维的范例．通过教材和自己补充的一些范例的学习，学生的逆向思维便会潜移默化地受到熏陶，同时也提高了学生分析问题、解决问题的能力．
五、多用“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维
“逆向变式”即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型．例如：不解方程，请判断方程2x2-6x+3=0的根的情况．可变式为：已知关于x的方程2x2-6x+k=0，当K取何值时，方程有两个不相等的实数根？经常进行这些有针对性的“逆向变式”训练，创设问题情境，对逆向思维的形成起着很大作用．
逆向思维的培养、训练也是一个持久的过程．我在安排练习时，总是精心设计好练习题，要为学生提供逆向思维的材料，设法通过不同层次的练习题对学生进行逆向思维训练．另外，还要多鼓励学生突破常规的思维方式，敢于想象，敢于标新立异．这些练习都活跃了学生的思维，有效地训练了学生的逆向思维．
总之，培养学生的逆向思维能力，不仅提高了学生解题效率，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质．