学习啦>学习方法>高中学习方法>高二学习方法>高二数学>

高中数学数列通项公式的求法

时间: 凤婷983 分享

学习啦在线学习网   数列通项公式是高中数学的重点与难点,那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由学习啦小编告诉你答案。

  高中数学数列通项公式的求法总结

  一、一阶线性递推数列求通项问题

学习啦在线学习网   一阶线性递推数列主要有如下几种形式:

  1.

学习啦在线学习网   这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).

  当

学习啦在线学习网   为常数时,通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当

学习啦在线学习网   为等差数列时,则

学习啦在线学习网   为二阶等差数列,其通项公式应当为

  形式,注意与等差数列求和公式一般形式的区别,后者是

学习啦在线学习网   ,其常数项一定为0. 2.

学习啦在线学习网   这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).

  当

学习啦在线学习网   为常数时,用累乘法可求得等比数列的通项公式. 3.

学习啦在线学习网   ; 这类数列通常可转化为

  ,或消去常数转化为二阶递推式

  . 例1已知数列

  中,

  ,求

  的通项公式. 解析:解法一:转化为

学习啦在线学习网   型递推数列. ∵

  ∴

  又

  ,故数列{

学习啦在线学习网   }是首项为2,公比为2的等比数列.∴

  ,即

学习啦在线学习网   . 解法二:转化为

学习啦在线学习网   型递推数列. ∵

  =2xn-1+1(n≥2)  ①  ∴

学习啦在线学习网   =2xn+1  ② ②-①,得

  (n≥2),故{

学习啦在线学习网   }是首项为x2-x1=2,公比为2的等比数列,即

  ,再用累加法得

  .

学习啦在线学习网   解法三:用迭代法.

  当然,此题也可用归纳猜想法求之,但要用数学归纳法证明. 例2 已知函数

  的反函数为

  求数列

学习啦在线学习网   的通项公式. 解析:由已知得

  ,则

  . 令

  =,则

  .比较系数,得

  . 即有

  .∴数列{

  }是以

  为首项,

  为公比的等比数列,∴

  ,故

  .

学习啦在线学习网   评析:此题亦可采用归纳猜想得出通项公式,而后用数学归纳法证明之.

  (4)

  若取倒数,得

  ,令

  ,从而转化为(1)型而求之. (5)

  ; 这类数列可变换成

  ,令

学习啦在线学习网   ,则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例3 设数列

  求数列

学习啦在线学习网   的通项公式. 解析:∵

  ,两边同除以

  ,得

  .令

  ,则有

  .于是,得

学习啦在线学习网   ,∴数列

  是以首项为

  ,公比为

  的等比数列,故

  ,即

  ,从而

  . 例4 设

  求数列

  的通项公式. 解析:设

  用

  代入,可解出

  . ∴

学习啦在线学习网   是以公比为-2,首项为

  的等比数列. ∴

  ,即

  . (6)

  这类数列可取对数得

  ,从而转化为等差数列型递推数列.

学习啦在线学习网   二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列

  例5 设数列

  求数列

  的通项公式. 解析:由

  可得

  设

  故

  即

  用累加法得

  或

  例6 在数列

  求数列

  的通项公式.

学习啦在线学习网   解析:可用换元法将其转化为一阶线性递推数列.

  令

  使数列

  是以

学习啦在线学习网   为公比的等比数列(

  待定). 即

学习啦在线学习网   ∴

学习啦在线学习网   对照已给递推式, 有

  即

  的两个实根. 从而

  ∴

  ① 或

  ② 由式①得

  ;由式②得

  . 消去

学习啦在线学习网   . 例7 在数列

  求

  . 解析:由

  ①,得

  ②. 式②+式①,得

  ,从而有

  .∴数列

  是以6为其周期.故

  =

  =-1.

  三、特殊的n阶递推数列

  例8 已知数列

  满足

  ,求

  的通项公式. 解析:∵

  ① ∴

  ② ②-①,得

  .∴

  故有

  将这几个式子累乘,得

  又

  例9 数列{

  }满足

  ,求数列{

  }的同项公式. 解析:由

  ①,得

学习啦在线学习网   ②. 式①-式②,得

  ,或

  ,故有

学习啦在线学习网   . ∴

  ,

学习啦在线学习网   . 将上面几个式子累乘,得

  ,即

  . ∵

学习啦在线学习网   也满足上式,∴

  .高中数学常见数列通项公式

  累加法

学习啦在线学习网   递推公式为a(n+1)=an+f(n),且f(n)可以求和

  例:数列{an},满足a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2-1),求{an}通项公式

学习啦在线学习网   解:a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

  ∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

学习啦在线学习网   ∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

  累乘法

  递推公式为a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求积

  例:数列{an}满足a(n+1)=(n+2)/n an,且a1=4,求an

学习啦在线学习网   解:an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

  构造法

学习啦在线学习网   将非等差数列、等比数列,转换成相关的等差等比数列

学习啦在线学习网   连加相减,连乘相除

学习啦在线学习网   例:{an}满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

学习啦在线学习网   解:令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

  nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

  ∴an=3(n+1)
看了“高中数学数列通项公式的求法”的人还看了:

1.高二数学数列试题的解题方法和技巧

2.高中数学证明方法

3.2017高考必备数学公式

4.高二数学数列知识点总结

5.高中数学等差数列求和公式

6.高中数学数列求和教学反思

高中数学数列通项公式的求法

数列通项公式是高中数学的重点与难点,那么数列通项公式的有什么求解方法呢?下面由学习啦小编告诉你答案。 高中数学数列通项公式的求法总结 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式: 1. 这类递推数列可通
推荐度:
点击下载文档文档为doc格式
2602553