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利用边求三角形面积海伦公式的证明方法

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  海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。下面是学习啦小编为您整理的海伦公式的证明方法,希望对您有所帮助!

  海伦公式的证明⑴

  与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 [1]

  cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab

学习啦在线学习网   S=1/2*ab*sinC

  =1/2*ab*√(1-cos^2 C)

学习啦在线学习网   =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

学习啦在线学习网   =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

  =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

学习啦在线学习网   =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

  =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

学习啦在线学习网   设p=(a+b+c)/2

  则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

  上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

  =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

学习啦在线学习网   所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

  海伦公式的证明⑵

  中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

  秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

  所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

  q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

学习啦在线学习网   当P=1时,△ 2=q,

  △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

  因式分解得

学习啦在线学习网   △ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

  =1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

  =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

  =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

  =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  由此可得:

  S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

学习啦在线学习网   其中p=1/2(a+b+c)

学习啦在线学习网   这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

  S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

学习啦在线学习网   根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

学习啦在线学习网   已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

学习啦在线学习网   这里用海伦公式的推广

  S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

学习啦在线学习网   代入解得s=8√ 3

  海伦公式的证明⑶

  在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

学习啦在线学习网   O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

  有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

学习啦在线学习网   r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

学习啦在线学习网   ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

  ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

学习啦在线学习网   =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

  =ptanA/2tanB/2tanC/2

  =r

学习啦在线学习网   ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

  ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

  =p(p-a)(p-b)(p-c)

  ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

  证明⑷

学习啦在线学习网   通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)


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