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2017数学必修一函数应用题及答案(2)

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学习啦在线学习网   16.有下列四个命题:

  ①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;

学习啦在线学习网   ②函数y=x-1的值域为{y|y≥0};

  ③已知集合A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若A∪B=A,则a的取值集合为{-1,13};

学习啦在线学习网   ④集合A={非负实数},B={实数},对应法则f:“求平方根”,则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为:________.

学习啦在线学习网   【解析】 函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-∞,2)∪

学习啦在线学习网   (2,+∞),它关于坐标原点不对称,所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数,即命题①不正确;

  函数y=x-1的定义域为{x|x≥1},当x≥1时,y≥0,即命题②正确;

  因为A∪B=A,所以B⊆A,若B=Ø,满足B⊆A,这时a=0;若B≠Ø,由B⊆A,得a=-1或a=13.因此,满足题设的实数a的取值集合为{-1,0,13},即命题③不正确;依据映射的定义知,命题④正确.

  【答案】 ②④

  三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1,x2(x1

  【解析】 A={x|x≤-2,或x≥5}.

学习啦在线学习网   要使A∩B=Ø,必有2m-1≥-2,3m+2≤5,3m+2>2m-1,

学习啦在线学习网   或3m+2<2m-1,

  解得m≥-12,m≤1,m>-3,或m<-3,即-12≤m≤1,或m<-3.

  18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

  (1)当a=-1时,求f(x)的最大值和最小值;

学习啦在线学习网   (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

  【解析】 (1)当a=-1时,

学习啦在线学习网   f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5].

  由于f(x)的对称轴为x=1,结合图象知,

  当x=1时,f(x)的最小值为1,

学习啦在线学习网   当x=-5时,f(x)的最大值为37.

  (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a,

学习啦在线学习网   ∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,

  ∴-a≤-5或-a≥5.

  故a的取值范围是a≤-5或a≥5.

学习啦在线学习网   19.(本小题满分12分)(1)计算:27912+(lg5)0+(2764)-13;

  (2)解方程:log3(6x-9)=3.

  【解析】 (1)原式

  =25912+(lg5)0+343-13

学习啦在线学习网   =53+1+43=4.

  (2)由方程log3(6x-9)=3得

  6x-9=33=27,∴6x=36=62,∴x=2.

  经检验,x=2是原方程的解.

  20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售,甲商场用下面的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?

  【解析】 设购买x台,甲、乙两商场的差价为y,则去甲商场购买共花费(800-20x)x,由题意800-20x≥440.

学习啦在线学习网   ∴1≤x≤18(x∈N).

学习啦在线学习网   去乙商场花费800×75%x(x∈N*).

学习啦在线学习网   ∴当1≤x≤18(x∈N*)时

  y=(800-20x)x-600x=200x-20x2,

学习啦在线学习网   当x>18(x∈N*)时,y=440x-600x=-160x,

  则当y>0时,1≤x≤10;

  当y=0时,x=10;

学习啦在线学习网   当y<0时,x>10(x∈N).

学习啦在线学习网   综上可知,若买少于10台,去乙商场花费较少;若买10台,甲、乙商场花费相同;若买超过10台,则去甲商场花费较少.

学习啦在线学习网   21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).

学习啦在线学习网   (1)求函数f(x)的定义域;

  (2)判断函数f(x)的奇偶性;

学习啦在线学习网   【解析】 (1)由1+x>0,1-x>0,得-1

  ∴函数f(x)的定义域为(-1,1).

  (2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),

学习啦在线学习网   有-x∈(-1,1),

  f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)

  ∴f(x)为奇函数.

  22.(本小题满分14分)设a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数.

学习啦在线学习网   (1)求a的值;

  (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

  【解析】 (1)解:∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数,

学习啦在线学习网   ∴f(x)-f(-x)=0.

  ∴exa+aex-e-xa-ae-x=0,

学习啦在线学习网   即1a-aex+a-1ae-x=0

  1a-a(ex-e-x)=0.

  由于ex-e-x不可能恒为0,

学习啦在线学习网   ∴当1a-a=0时,式子恒成立.

  又a>0,∴a=1.

  (2)证明:∵由(1)知f(x)=ex+1ex,

学习啦在线学习网   在(0,+∞)上任取x1

  f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2

学习啦在线学习网   =(ex1-ex2)+(ex2-ex1)•1ex1+x2.

学习啦在线学习网   ∵e>1,∴0

  ∴ex1+x2>1,(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0,

  ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

  ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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