三角函数诱导公式知识点
学习啦在线学习网 三角函数诱导公式适用于数学，天文，物理，可谓是多用的公式。下面是学习啦小编给大家整理的三角函数诱导公式，供大家参阅!
三角函数诱导公式定义
学习啦在线学习网 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。三角函数诱导公式
三角函数诱导公式三角函数
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
tanα ·cotα=1
学习啦在线学习网 sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系
学习啦在线学习网 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系
sin2(α)+cos2(α)=1
1+tan2(α)=sec2(α)
1+cot2(α)=csc2(α)
学习啦在线学习网 同角三角函数关系六角形记忆法
构造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
倒数关系
对角线上两个函数互为倒数;
商数关系
学习啦在线学习网 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。)由此，可得商数关系式。
平方关系
在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
学习啦在线学习网 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
学习啦在线学习网 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
学习啦在线学习网 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
学习啦在线学习网 tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
学习啦在线学习网 二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
学习啦在线学习网 cos2α=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)
学习啦在线学习网 tan2α=2tanα/[1-tan2(α)]
tan[(1/2)α]=(sin α)/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α
半角的正弦、余弦和正切公式
学习啦在线学习网 sin2(α/2)=(1-cosα)/2
学习啦在线学习网 cos2(α/2)=(1+cosα)/2
tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
学习啦在线学习网 cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan2(α/2)]
学习啦在线学习网 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
学习啦在线学习网 tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
学习啦在线学习网 三角函数的和差化积公式
学习啦在线学习网 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
学习啦在线学习网 三角函数的积化和差公式
sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]
学习啦在线学习网 cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]
三角函数诱导公式推导过程
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，
学习啦在线学习网 (因为cos2(α)+sin2(α)=1)
学习啦在线学习网 再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]
然后用α/2代替α即可。
学习啦在线学习网 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
学习啦在线学习网 tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]
学习啦在线学习网 上下同除以cos3(α)，得：
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)
=3sinα-4sin3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)
=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]
=4cos3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin3(α)
学习啦在线学习网 cos3α=4cos3(α)-3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
学习啦在线学习网 同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
学习啦在线学习网 所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
学习啦在线学习网 这样，我们就得到了积化和差的公式：
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式
学习啦在线学习网 我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
学习啦在线学习网 sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
三角函数诱导公式常用公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
学习啦在线学习网 sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
学习啦在线学习网 tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
学习啦在线学习网 sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)=-cosα
学习啦在线学习网 tan(π+α)= tanα
cot(π+α)=cotα
学习啦在线学习网 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系(利用 原函数 奇偶性)：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
学习啦在线学习网 tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
学习啦在线学习网 sin(π-α)= sinα
cos(π-α)=-cosα
学习啦在线学习网 tan(π-α)=-tanα
学习啦在线学习网 cot(π-α)=-cotα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
学习啦在线学习网 sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)= cosα
学习啦在线学习网 tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
cos(π/2-α)=sinα
学习啦在线学习网 tan(π/2+α)=-cotα
学习啦在线学习网 tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2+α)=-tanα
学习啦在线学习网 cot(π/2-α)=tanα
推算公式：3π/2 ± α与α的三角函数值之间的关系：
学习啦在线学习网 sin(3π/2+α)=-cosα
学习啦在线学习网 sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
学习啦在线学习网 cos(3π/2-α)=-sinα
学习啦在线学习网 tan(3π/2+α)=-cotα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
cot(3π/2-α)=tanα
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。以cos(π/2+α)=-sinα为例，等式左边cos(π/2+α)中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx在区间(π/2，π)上小于零，所以右边符号为负，所以右边为-sinα。
符号判断口诀：
全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。
也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。
学习啦在线学习网 “ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。
另一种口诀：正弦一二切一三，余弦一四紧相连，言之为正。
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