北师大版八年级下册数学课本第一章复习题答案
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北师大版八年级下册数学课本第一章复习题答案
1.已知：两直线平行，内错角相等;已知：两直线平行，同位角相等;等量代换.
2.证明：
∵AD//CB，
∴∠ACD=∠CAD.
∵CB=AD,CA=AC,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
3.证明：
学习啦在线学习网 (1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
学习啦在线学习网 ∴∠DBC=∠ECB,即∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC(等角对等边).
学习啦在线学习网 (2)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
学习啦在线学习网 ∴AD=AE.
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.
4.证明：
∵BD,CE为△ABC的高，且BD=CE,又BC=BC，
学习啦在线学习网 ∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
学习啦在线学习网 5.解：如图1-5-24所示.
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=1:2:3，
,∴∠A=30°，∠C=90°.
学习啦在线学习网 ∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
学习啦在线学习网 6.证明：如图1-5-25所示，连接OP.
∵AN⊥OB,BM⊥OA,
学习啦在线学习网 ∴ ∠PNO =∠PMO=90°.
在Rt△PNO与Rt△PMO中，
∴Rt△PNO≌Rt△PMO(HL).
学习啦在线学习网 ∴PM=PN.
7.证明：(1)如图1-5-26所示，
∵C是线段AB的垂直平分线上的点，
学习啦在线学习网 ∴AC=BC.
学习啦在线学习网 ∴△ABC是等腰三角形.同理可证△ABD是等腰三角形.
学习啦在线学习网 (2)第一种情况：点C，D在小段AB所在直线的异侧.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
∵AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA .
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,即∠CAD=∠CBD.
第二种情况：点C,D在线段AB所在直线的同侧，利用同样方法推理可得∠CAD=∠CBD.
8.已知：线段a(如图1-5-27所示).求作：等腰△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的高AD=2a.
学习啦在线学习网 作法：如图1-5-28所示.
学习啦在线学习网 (1)作射线BM，在BM上截取线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于点D;
学习啦在线学习网 (3)在射线DE上截取DA=2a;
学习啦在线学习网 (4)连接AB,AC,则△ABC即为所求.
9.解：在Rt△ABC中，
学习啦在线学习网 ∵∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC=
a.
学习啦在线学习网 ∵AD⊥BC，
学习啦在线学习网 ∴BD=1/2BC=
/2a.
学习啦在线学习网 ∵AD⊥BC，∠B=45°，
∴AD=BD=
/2a.
10.解：①Rt△AOD≌Rt△AOE .
证明：
∵高BD，CE交于点O，
∴∠ADO=∠AEO=90°.
学习啦在线学习网 ∵OD=OE，AO=AO,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL).
②Rt△BOE≌Rt△COD.
证明：
学习啦在线学习网 由①知∠BEO=∠CDO=90°，
又∵OE=OD且∠BOE=∠COD,
学习啦在线学习网 ∴△BOE≌△COD(ASA).
学习啦在线学习网 ③Rt△BCE≌Rt△CBD.
证明：
学习啦在线学习网 由②知∠BEC=∠CDB=90°，BE=CD且BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL).
学习啦在线学习网 ④△ABM≌△ACM.
证明：
学习啦在线学习网 由③知∠ABC=∠ACB，由①知∠BAM=∠CAM,又
∵AM=AM，
∴△ABM≌△ACM(AAS).
⑤Rt△ABD≌Rt△ACE.
证明：
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，又由①知AE=AD,
∴△ABD≌Rt△ACE(ASA).
学习啦在线学习网 ⑥△BOM≌△COM.
证明：由①知∠AOE=∠AOD，由②知∠BOE=∠COD,
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD,即∠AOB=∠AOC，
学习啦在线学习网 ∴∠BOM=∠COM.
由③知∠BOC=∠OCB，
学习啦在线学习网 又∵OM=OM.
∴△BOM≌△COM(AAS).
学习啦在线学习网 11.证明：如图1-5-29所示，连接BE.
学习啦在线学习网 ∵DE垂直平分AB，
学习啦在线学习网 ∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
学习啦在线学习网 ∵∠C=90°，∠A=30°，
学习啦在线学习网 ∴∠ABC=60°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
∴BE=2CE.
∴AE=2CE.
学习啦在线学习网 12.解：∠AED=∠C=90°, ∠B=60°，
∴∠A=30°.
∴AD=2DE=2.
∴AC=AD+CD=4.
∵∠A=∠A, ∠AED=∠C ,
学习啦在线学习网 ∴△AED∽△ACB，
学习啦在线学习网 ∴DE/BC=AE/AC ,
学习啦在线学习网 13.解：此题答案不唯一.添加条件：∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB或AC=BD或BC=AD.选择添加条件AC=BD加以证明.
学习啦在线学习网 证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
学习啦在线学习网 ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
学习啦在线学习网 14.已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B与∠C都是锐角.
学习啦在线学习网 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.假设∠B与∠C都为直角或钝角，于是∠B+∠C≥180°，这与三角形内角和定理矛盾，因此∠B和∠C必为锐角.即等腰三角形的底角必为锐角.
15.解：△AFD是直角三角形.理由如下：
∵AB=AD，
学习啦在线学习网 ∴∠B=∠ADB=64°，
学习啦在线学习网 ∴△BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-64°-64°=52°.
学习啦在线学习网 ∵∠BAC=72°，
而∠BAC=∠BAD+∠DAC,
学习啦在线学习网 ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°-52°=20°.
∵AD=DE, ∠E=55°，
∴DAE=∠E=55°(等边对等角).
∵∠DAE=∠DAC+∠FAE,
学习啦在线学习网 ∴∠FAE=∠DAE-∠DAC=55°-20°=35°.
∵∠AFD=∠FAE+∠E，
学习啦在线学习网 ∴∠AFD=35°+55°=90°，
学习啦在线学习网 ∴△AFD是直角三角形.
16.解：∵DE垂直平分AB，
学习啦在线学习网 ∴AE=BE.
学习啦在线学习网 又∵BCE的周长=BE+EC+BC=AC+BC=8.
又∵AC-BC=2，得方程组
学习啦在线学习网 ∵AB=AC ,
∴ AB=5.
17.证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C.
∵AD=BE=CF,
学习啦在线学习网 ∴ AB-AD=BC-BE=AC-CF，即DB=EC=FA.在△BDE和△CEF中，
学习啦在线学习网 ∴△BDE≌△CEF(SAS).
∴ DE=EF.同理可证△AFD≌△CEF(SAS),
∴ FD=EF,DE=EF=FD.
学习啦在线学习网 ∴△DEF是等边三角形.
学习啦在线学习网 18.解：作图如图1-5-30所示，△ABC是所求作的等腰直角三角形.
19.解：如图1-5-31所示,在等腰△ABC中,AB=AC=5，BC=6.过点A作AD⊥BC交BC于点D，
学习啦在线学习网 ∴BD=1/2BC=3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²=AB²-BD²=5²-3²=16，
∴ AD=4.
∴S△ABC=1/2BC • AD=1/2×6×4=12.
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